Diagrammes de Venn – opérations sur les ensembles

Ce qu’elle montre

Un diagramme de Venn place chaque élément de l'ensemble de référence U = {1 ; 2 ; … ; N} dans une seule région, selon les ensembles A, B et C qui le contiennent. Réunion, intersection, différence et complémentaire deviennent alors des régions coloriées dont on peut lister et compter les éléments. Le comptage illustre le principe d'inclusion-exclusion, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) : sans la soustraction, les éléments de la partie commune seraient comptés deux fois. Il montre aussi que A \ B et B \ A sont des ensembles différents et que le complémentaire de A compte n(U) − n(A) éléments.

Mode d’emploi

Saisissez les éléments de l'Ensemble A et de l'Ensemble B (et de l'Ensemble C avec trois ensembles), choisissez N et vérifiez que chaque nombre tombe dans la bonne région. Cliquez sur les boutons d'opération pour colorier A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A ou U \ A, et lisez les éléments listés et n(·). Cliquez ensuite directement sur les régions pour former d'autres ensembles, comme (A ∩ B) \ C, puis utilisez Effacer la sélection pour recommencer.

Paramètres modifiables

• Nombre d'ensembles 2 ensembles (A, B), 3 ensembles (A, B, C)
• Opération initiale A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, Complémentaire de A dans U, A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C
• U = {1; 2; …; N} 6–20
• Ensemble A (nombres séparés par des virgules)
• Ensemble B
• Ensemble C (avec 3 ensembles)

Questions à explorer

1. Quelles régions du diagramme forment l'ensemble (A ∩ B) \ C ?
2. Quand n(A ∪ B) est-il égal à n(A) + n(B) ?
3. Le complémentaire de A ∪ B est-il égal à l'intersection des complémentaires de A et de B ?