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Fonction exponentielle y = aˣ et fonction logarithme y = logₐx

MathématiquesFonctions et courbes16–17 ans

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Utiliser avec ma classe

Les courbes de y = aˣ et de y = logₐx sont symétriques par rapport à la droite y = x. Faites glisser le point M sur la courbe exponentielle : son symétrique M' se déplace sur la courbe logarithme ; faites varier a pour voir la fonction croissante si a > 1 et décroissante si 0 < a < 1. L'écran Propriétés montre un logarithme comme un exposant sur une échelle des puissances de b, les propriétés du produit et du quotient sur une règle à calcul, la propriété de la puissance, le changement de base et b^(x+k) = b^k·b^x comme transformations de courbes ; l'écran Équations résout A·b^(ct) = d graphiquement et avec les logarithmes, temps de doublement et demi-vie compris. L'écran Base e montre pourquoi e est particulier : seulement pour a = e la pente de aˣ est égale à sa valeur ; la dérivée de e^(kx) est k·e^(kx) ; ln x est l'aire sous y = 1/t et la courbe symétrique de eˣ par rapport à y = x ; et (1 + 1/n)ⁿ → e se relie aux intérêts composés en continu.

Leçon : Fonctions exponentielles, fonctions logarithmes

Ce qu’elle montre

La fonction exponentielle y = aˣ et le logarithme y = logₐx sont réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à y = x. Un logarithme est un exposant ; les propriétés log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y et log(xᵏ) = k·log x découlent des règles sur les puissances, et passer aux logarithmes résout A·b^(ct) = d. Le nombre e ≈ 2,718 est la seule base pour laquelle la pente de aˣ égale sa valeur : la dérivée de e^(kx) est k·e^(kx). ln x est l'aire sous y = 1/t de 1 à x, et (1 + 1/n)ⁿ tend vers e.

Mode d’emploi

Dans Courbes, faites passer le curseur Base a de part et d'autre de 1 et déplacez le point M sur y = aˣ. Dans Propriétés, choisissez une Propriété et une Base, puis faites glisser sur la figure. Dans Équations, réglez A, b, c et d ou choisissez un Problème. Dans Base e, choisissez une Vue, changez a ou cliquez sur a = e, changez k ou réglez n et r, puis faites glisser sur la courbe.

Paramètres modifiables

  • Base a (a > 0, a ≠ 1) 0,1–5
  • Abscisse initiale du point M -3–3
  • Application affichée Courbes seules, Croissance d'une population (×a par période), Désintégration radioactive (il reste a de la quantité par période, a < 1)
  • Afficher la courbe y = logₐx
  • Afficher la droite y = x et les points symétriques
  • Écran Courbes, Propriétés, Équations, Base e
  • Propriété des logarithmes Un logarithme est un exposant, Produit : log(xy), Quotient : log(x/y), Puissance : log(xᵏ), log(kx) : translation, Changement de base, bˣ⁺ᵏ = bᵏ·bˣ
  • Base b (propriétés) 2, 3, 10, e
  • Valeur x (propriétés) 0,1–100
  • Valeur y (règle à calcul) 0,1–10
  • Paramètre k -3–10
  • Nouvelle base c 2, 3, 10, e
  • Valeur initiale A 1–1000
  • Base b (équation) 0,5–3
  • Constante c 0,1–12
  • Valeur cible d 1–5000
  • Problème Choisir d, Temps de doublement (d = 2A), Demi-vie (d = A/2)
  • Axe y logarithmique
  • Base e : vue Pente de aˣ, Pente de e^(kx), ln x comme aire, (1 + 1/n)ⁿ → e
  • Base a (écran Base e) 1,2–4
  • Constante k dans y = e^(kx) -2–2
  • Abscisse du point de tangence -3–2
  • Borne supérieure x de l'aire sous y = 1/t 0,1–8
  • Nombre de périodes de capitalisation n 1–1000000
  • Taux d'intérêt annuel r 1–100 %

Questions à explorer

  1. À l'aide de la symétrie de y = aˣ par rapport à y = x, pourquoi logₐx n'est-il défini que pour x > 0 ?
  2. Si M(2 ; 4) appartient à y = 2ˣ, quel point appartient forcément à y = log₂x ?
  3. Une population est multipliée par 1,1 à chaque période. Au bout de combien de périodes a-t-elle doublé ?

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