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Cercle – cordes et tangentes

MathématiquesGéométrie plane14–15 ans

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Cercle (O ; R) avec une corde AB et un point extérieur M. Faites glisser le milieu H de la corde pour changer la distance OH et constater que OH ⟂ AB et AB = 2√(R² − OH²) ; faites glisser M pour voir que les deux tangentes MT₁ et MT₂ sont de même longueur avec OT ⟂ MT ; faites glisser le point du cercle pour changer le rayon. Dès que M passe à l'intérieur du cercle, il n'y a plus de tangente.

Leçon : Diamètre et corde ; tangente à un cercle ; tangentes issues d'un point extérieur

Ce qu’elle montre

Plusieurs propriétés du cercle sont réunies sur le cercle (O ; R). La perpendiculaire menée du centre à une corde AB la coupe en son milieu H ; d'après le théorème de Pythagore, AB = 2√(R² − OH²) : plus la corde est proche du centre, plus elle est longue, et lorsque OH = 0 c'est un diamètre. Une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact. D'un point extérieur M partent exactement deux tangentes, MT₁ et MT₂, de même longueur √(OM² − R²), et (MO) est la bissectrice de l'angle T₁MT₂. Par un point du cercle passe une seule tangente, par un point intérieur aucune.

Mode d’emploi

Réglez le Rayon R et la Distance du centre à la corde OH, ou faites glisser H, et comparez la longueur AB affichée avec celle prévue par le théorème de Pythagore. Amenez H au centre pour obtenir un diamètre. Avec Afficher les tangentes issues de M activé, faites glisser M vers le cercle et regardez MT diminuer, puis placez-le sur le cercle et à l'intérieur. Faites glisser K pour changer le rayon et voir comment les deux résultats réagissent.

Paramètres modifiables

  • Rayon R 2–8 cm
  • Distance du centre à la corde OH 0–7,5 cm
  • Afficher les tangentes issues de M
  • Afficher le diamètre perpendiculaire à la corde

Questions à explorer

  1. Pour R = 5 cm et OH = 3 cm, quelle est la longueur de la corde AB ?
  2. Pourquoi les deux tangentes issues d'un point extérieur M ont-elles toujours la même longueur ?
  3. Combien de tangentes passent par un point du cercle, et combien par un point intérieur ?

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