Propriétés des puissances – des facteurs répétés aux exposants nuls, négatifs et fractionnaires

Ce qu’elle montre

Chaque puissance est développée en tuiles de facteurs égaux : un exposant positif place les tuiles au numérateur, un exposant négatif au dénominateur, et chaque paire b/b = 1 est barrée. En comptant les facteurs restants, on obtient bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ et (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ pour toute base b ≠ 0, numérique ou littérale. Diviser par b pas à pas montre pourquoi b⁰ = 1 et b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Les exposants fractionnaires découlent de (b^(1/n))ⁿ = b, donc b^(1/n) = ⁿ√b ; les courbes ne sont tracées que pour x ≥ 0.

Mode d’emploi

Dans Propriétés, choisissez une Propriété et une Base, puis déplacez m et n (y compris vers des valeurs négatives) et comptez les tuiles restantes après simplification. Dans Nuls et négatifs, appuyez plusieurs fois sur Diviser par b et voyez le motif se poursuivre au-delà de b⁰. Dans Fractionnaires, réglez Numérateur m, Dénominateur n et Base b pour voir b^(m/n) comme racine et puissance. Dans Entraînement, choisissez un Type d'exercice et appuyez sur Nouvel exercice. Réinitialiser rétablit les valeurs de départ.

Paramètres modifiables

• Écran Propriétés, Nuls et négatifs, Fractionnaires, Entraînement
• Propriété Produit : bᵐ · bⁿ, Quotient : bᵐ ÷ bⁿ, Puissance d'une puissance : (bᵐ)ⁿ
• Base 2, 3, 5, 10, x
• Exposant m -4–6
• Exposant n -4–6
• Exposant courant (écran Nuls et négatifs) -3–4
• Numérateur m de l'exposant m/n -4–6
• Dénominateur n de l'exposant m/n 1–6
• Base b (écran Fractionnaires) 0–10
• Type d'exercice Tous les types, Produit, quotient, puissance, Exposants nuls et négatifs, Exposants fractionnaires

Questions à explorer

1. Pourquoi 2³ · 2⁻³ vaut-il 1, et qu'est-ce que cela vous apprend sur 2⁻³ ?
2. Pourquoi ne peut-on pas additionner les exposants quand on multiplie 2³ par 3² ?
3. Combien vaut 8^(2/3), et pourquoi est-il plus simple de prendre d'abord la racine ?