Analisis fungsi kubik dan fungsi rasional – turunan, ekstrem, asimtot

Yang ditunjukkan

Tanda turunan menentukan bentuk grafik. Untuk fungsi kubik y = ax³ + bx² + cx + d, y′ = 3ax² + 2bx + c: jika b² − 3ac > 0, turunan berganti tanda dua kali sehingga ada maksimum lokal dan minimum lokal; jika tidak, fungsi monoton tanpa titik ekstrem. Titik belok di x = −b/(3a) adalah pusat simetri grafik. Untuk y = (ax + b)/(cx + d), y′ = (ad − bc)/(cx + d)² tidak pernah berganti tanda: tidak ada ekstrem, hanya asimtot x = −d/c dan y = a/c.

Cara menggunakan

Pilih Kubik atau Rasional, lalu ubah Koefisien a, b, c, dan d satu per satu sambil memperhatikan tabel perubahan yang terbentuk ulang. Seret titik M sepanjang kurva: garis singgung naik saat y′ > 0, turun saat y′ < 0, dan mendatar di setiap titik ekstrem. Pada fungsi kubik, minta siswa mencari koefisien yang membuat dua titik ekstrem menyatu lalu hilang; pada fungsi rasional, amati kedua asimtot bergeser saat c dan d berubah.

Parameter yang dapat diubah

• Jenis fungsi y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• Koefisien a -3–3
• Koefisien b -6–6
• Koefisien c -6–6
• Koefisien d -6–6

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Syarat apa pada a, b, dan c yang membuat fungsi kubik memiliki dua titik ekstrem, dan dapatkah Anda membuktikannya dengan mengubah koefisien?
2. Jika y′(x₀) = 0, apakah x₀ pasti titik ekstrem, atau dapatkah Anda menemukan fungsi kubik yang bukan?
3. Mengapa y = (ax + b)/(cx + d) tidak pernah memiliki maksimum atau minimum lokal?