Estudio de funciones cúbicas y racionales – derivada, extremos, asíntotas

Qué muestra

El signo de la derivada determina la forma de la gráfica. Para la cúbica y = ax³ + bx² + cx + d, y′ = 3ax² + 2bx + c: si b² − 3ac > 0, cambia de signo dos veces y hay un máximo local y un mínimo local; si no, la función es monótona y no tiene extremos. El punto de inflexión en x = −b/(3a) es el centro de simetría. Para y = (ax + b)/(cx + d), y′ = (ad − bc)/(cx + d)² nunca cambia de signo: no hay extremos, solo las asíntotas x = −d/c e y = a/c.

Cómo usarla

Elige Cúbica o Racional y cambia Coeficiente a, b, c y d de uno en uno mientras la tabla de variación se reconstruye. Arrastra el punto M por la curva: la tangente sube donde y′ > 0, baja donde y′ < 0 y es horizontal en cada extremo. Con la cúbica, pide a los estudiantes que busquen coeficientes que hagan que los dos extremos se junten y desaparezcan; con la racional, observa cómo se mueven las asíntotas al cambiar c y d.

Parámetros que puedes cambiar

• Tipo de función y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• Coeficiente a -3–3
• Coeficiente b -6–6
• Coeficiente c -6–6
• Coeficiente d -6–6

Preguntas para explorar

1. ¿Qué condición sobre a, b y c da a la cúbica dos extremos, y puedes confirmarla ajustando los coeficientes?
2. Si y′(x₀) = 0, ¿es x₀ necesariamente un máximo o un mínimo, o puedes encontrar una cúbica donde no lo sea?
3. ¿Por qué y = (ax + b)/(cx + d) nunca tiene máximo ni mínimo local?