Étude de fonctions cubiques et homographiques – dérivée, extremums, asymptotes

Ce qu’elle montre

Le signe de la dérivée détermine l'allure de la courbe. Pour la fonction cubique y = ax³ + bx² + cx + d, y′ = 3ax² + 2bx + c : si b² − 3ac > 0, elle change deux fois de signe et la fonction admet un maximum local et un minimum local ; sinon elle est monotone, sans extremum. Le point d'inflexion d'abscisse −b/(3a) est centre de symétrie. Pour y = (ax + b)/(cx + d), y′ = (ad − bc)/(cx + d)² ne change jamais de signe : pas d'extremum, seulement les asymptotes x = −d/c et y = a/c.

Mode d’emploi

Choisissez Cubique ou Homographique, puis modifiez Coefficient a, b, c et d un par un pendant que le tableau de variations se reconstruit. Faites glisser le point M le long de la courbe : la tangente monte là où y′ > 0, descend là où y′ < 0 et devient horizontale à chaque extremum. Avec la cubique, demandez aux élèves de trouver des coefficients qui font fusionner puis disparaître les deux extremums ; avec l'homographique, observez les asymptotes bouger quand c et d changent.

Paramètres modifiables

• Type de fonction y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• Coefficient a -3–3
• Coefficient b -6–6
• Coefficient c -6–6
• Coefficient d -6–6

Questions à explorer

1. Quelle condition sur a, b et c donne deux extremums à la cubique, et pouvez-vous la confirmer en réglant les coefficients ?
2. Si y′(x₀) = 0, x₀ est-il forcément un extremum, ou trouvez-vous une cubique pour laquelle ce n'est pas le cas ?
3. Pourquoi y = (ax + b)/(cx + d) n'a-t-elle jamais de maximum ni de minimum local ?