Estudo de funções cúbicas e racionais – derivadas, extremos, assíntotas

O que mostra

O sinal da derivada determina a forma do gráfico. Para a cúbica y = ax³ + bx² + cx + d, y′ = 3ax² + 2bx + c: se b² − 3ac > 0, ela muda de sinal duas vezes e há um máximo local e um mínimo local; caso contrário, a função é monótona e não tem extremos. O ponto de inflexão em x = −b/(3a) é o centro de simetria. Para y = (ax + b)/(cx + d), y′ = (ad − bc)/(cx + d)² nunca muda de sinal: não há extremos, apenas as assíntotas x = −d/c e y = a/c.

Como usar

Escolha Cúbica ou Racional e mude Coeficiente a, b, c e d um de cada vez enquanto o quadro de variação é refeito. Arraste o ponto M ao longo da curva: a tangente sobe onde y′ > 0, desce onde y′ < 0 e fica horizontal em cada extremo. Com a cúbica, peça aos alunos que encontrem coeficientes que façam os dois extremos se juntarem e desaparecerem; com a racional, observe as assíntotas se moverem quando c e d mudam.

Parâmetros que você pode mudar

• Tipo de função y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• Coeficiente a -3–3
• Coeficiente b -6–6
• Coeficiente c -6–6
• Coeficiente d -6–6

Perguntas para explorar

1. Que condição sobre a, b e c dá à cúbica dois extremos, e você consegue confirmá-la ajustando os coeficientes?
2. Se y′(x₀) = 0, x₀ é necessariamente um máximo ou mínimo, ou você encontra uma cúbica em que não é?
3. Por que y = (ax + b)/(cx + d) nunca tem máximo nem mínimo local?