Kurvendiskussion ganzrationaler und gebrochen-rationaler Funktionen – Ableitung, Extrema, Asymptoten

Was sie zeigt

Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt die Gestalt des Graphen. Für die kubische Funktion y = ax³ + bx² + cx + d ist y′ = 3ax² + 2bx + c: Ist b² − 3ac > 0, wechselt y′ zweimal das Vorzeichen, und es gibt ein lokales Maximum und ein lokales Minimum; sonst ist die Funktion monoton ohne Extrema. Der Wendepunkt bei x = −b/(3a) ist Symmetriezentrum. Für y = (ax + b)/(cx + d) wechselt y′ = (ad − bc)/(cx + d)² nie das Vorzeichen: keine Extrema, nur die Asymptoten x = −d/c und y = a/c.

So funktioniert es

Wählen Sie Kubisch oder Gebrochen-rational und ändern Sie Koeffizient a, b, c und d einzeln, während sich die Monotonietabelle neu aufbaut. Ziehen Sie den Punkt M entlang der Kurve: Die Tangente steigt, wo y′ > 0, fällt, wo y′ < 0, und ist an jedem Extremum waagerecht. Lassen Sie die Lernenden bei der kubischen Funktion Koeffizienten suchen, bei denen die beiden Extrema verschmelzen und verschwinden; bei der gebrochen-rationalen Funktion wandern beide Asymptoten mit c und d.

Einstellbare Parameter

• Funktionstyp y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• Koeffizient a -3–3
• Koeffizient b -6–6
• Koeffizient c -6–6
• Koeffizient d -6–6

Fragen zum Erkunden

1. Welche Bedingung an a, b und c liefert zwei Extrema der kubischen Funktion, und können Sie sie durch Verändern der Koeffizienten bestätigen?
2. Ist x₀ mit y′(x₀) = 0 zwingend ein Extremum, oder finden Sie eine kubische Funktion, bei der das nicht gilt?
3. Warum hat y = (ax + b)/(cx + d) nie ein lokales Maximum oder Minimum?