دراسة الدالة التكعيبية والدالة الكسرية – المشتقة والقيم القصوى وخطوط التقارب

ماذا تعرض

إشارة المشتقة هي التي تحدد شكل المنحنى. في الدالة التكعيبية y = ax³ + bx² + cx + d تكون y′ = 3ax² + 2bx + c: فإذا كان b² − 3ac > 0 غيّرت المشتقة إشارتها مرتين، فتظهر قيمة عظمى محلية وقيمة صغرى محلية؛ وإلا كانت الدالة رتيبة بلا قيم قصوى. ونقطة الانقلاب عند x = −b/(3a) هي مركز تماثل المنحنى. أما في y = (ax + b)/(cx + d) فإن y′ = (ad − bc)/(cx + d)² لا تغيّر إشارتها أبدًا، فلا توجد قيم قصوى، بل خطا التقارب x = −d/c و y = a/c فقط.

طريقة الاستخدام

اختر «تكعيبية» أو «كسرية»، ثم غيّر المعامل a و b و c و d واحدًا تلو الآخر بينما يُعاد بناء جدول التغيرات. اسحب النقطة M على المنحنى: يميل المماس صعودًا حيث y′ > 0، وهبوطًا حيث y′ < 0، ويكون أفقيًا عند كل قيمة قصوى. في الدالة التكعيبية ابحث عن معاملات تجعل القيمتين القصويين تندمجان وتختفيان؛ وفي الدالة الكسرية لاحظ انزياح خطي التقارب عند تغيير c و d.

المعاملات القابلة للتغيير

• نوع الدالة y = ax³ + bx² + cx + d, y = (ax + b)/(cx + d)
• المعامل a -3–3
• المعامل b -6–6
• المعامل c -6–6
• المعامل d -6–6

أسئلة للاستكشاف

1. ما الشرط على a و b و c لتكون للدالة التكعيبية قيمتان قصويان، وكيف تتحقق منه بتغيير المعاملات؟
2. إذا كان y′(x₀) = 0، فهل يجب أن تكون x₀ قيمة عظمى أو صغرى، أم يمكنك إيجاد دالة تكعيبية لا يتحقق فيها ذلك؟
3. لماذا لا يكون للدالة y = (ax + b)/(cx + d) قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية أبدًا؟