Sistemas de tres ecuaciones lineales – planos y método de Gauss
MatemáticasÁlgebraEdades 15–16
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Cada ecuación ax + by + cz = d es un plano del espacio. Gira el sistema de ejes 3D para ver tres planos que se cortan en un punto (solución única), que se cortan dos a dos según tres rectas paralelas (sin solución) o que comparten una recta común (infinitas soluciones), mientras avanzas paso a paso por el método de Gauss sobre la matriz ampliada para ver por qué el sistema cae en ese caso. El botón 2D | 3D cambia a una vista tridimensional real (WebGL): los tres planos coloreados en los ejes Oxyz, sus rectas de intersección y el punto solución, que puedes girar y ampliar libremente.
Lección: Sistemas de tres ecuaciones lineales
Qué muestra
Una ecuación lineal ax + by + cz = d describe un plano en el espacio, así que resolver un sistema de tres de estas ecuaciones es hallar los puntos comunes a tres planos. Los planos pueden cortarse en un único punto (solución única), compartir una recta (infinitas soluciones con una variable libre) o no tener ningún punto común, por ejemplo cuando se cortan dos a dos en tres rectas paralelas. La eliminación gaussiana en la matriz ampliada llega a la misma conclusión algebraicamente: una fila 0 = número no nulo indica que no hay solución, y una fila de ceros indica que una ecuación depende de las otras.
Cómo usarla
Elige un Sistema y pide a los estudiantes que predigan cómo están dispuestos los tres planos. Gira la figura, o usa el botón 2D | 3D para la vista WebGL, para comprobar la predicción. Luego pulsa Siguiente paso varias veces y relaciona cada operación de filas con la matriz, volviendo con Paso anterior cuando haga falta. En el Sistema con parámetro m, arrastra el Parámetro m y busca el valor en que desaparece la solución única.
Parámetros que puedes cambiar
- Sistema Problema de compras (solución única), Sistema con parámetro m, Sin solución, Infinitas soluciones
- Parámetro m (para el sistema con parámetro) -6–6
- Moneda (problema de compras) Según el idioma, Dólar estadounidense, Euro, Rupia india, Rupia indonesia, Riyal saudí
Preguntas para explorar
- Si los tres planos son paralelos entre sí, ¿puede tener solución el sistema? ¿Qué mostraría la eliminación?
- ¿Para qué valor de m el sistema con parámetro no tiene solución, y qué fila aparece tras la eliminación?
- ¿Por qué un sistema con infinitas soluciones corresponde a una recta común a los tres planos?
