نظام من ثلاث معادلات خطية – المستويات وطريقة الحذف لغاوس

ماذا تعرض

تصف المعادلة الخطية ax + by + cz = d بثلاثة مجاهيل مستويًا في الفضاء، لذلك فإن حل نظام من ثلاث معادلات كهذه يعني إيجاد النقاط المشتركة بين ثلاثة مستويات. قد تلتقي المستويات في نقطة واحدة (حل وحيد)، أو تشترك في مستقيم (عدد لا نهائي من الحلول بمتغير حر واحد)، أو لا تكون بينها أي نقطة مشتركة، كأن تتقاطع مثنى مثنى في ثلاثة مستقيمات متوازية. وتصل طريقة الحذف لغاوس على المصفوفة الموسعة إلى النتيجة نفسها جبريًا: فظهور صف نصّه 0 = عدد غير صفري يعني أنه لا حل، أما الصف الصفري كله فيعني أن إحدى المعادلات تابعة للمعادلتين الأخريين.

طريقة الاستخدام

اختر «النظام» واطلب من الطلاب أن يتوقعوا كيف تتوضع المستويات الثلاثة. أدر الشكل، أو استخدم الزر 2D | 3D للانتقال إلى عرض WebGL، لتتحقق من التوقع. ثم انقر «الخطوة التالية» مرات متتالية واربط كل عملية على الصفوف بالمصفوفة، وارجع بالزر «الخطوة السابقة» عند الحاجة. وفي «نظام بوسيط m» اسحب المنزلق m وابحث عن القيمة التي يختفي عندها الحل الوحيد.

المعاملات القابلة للتغيير

• النظام مسألة الشراء (حل وحيد), نظام بوسيط m, بلا حل, عدد لا نهائي من الحلول
• الوسيط m (يُستخدم في النظام ذي الوسيط) -6–6

أسئلة للاستكشاف

1. إذا كانت المستويات الثلاثة متوازية، فهل يمكن أن يكون للنظام حل؟ وماذا تُظهر طريقة الحذف؟
2. عند أي قيمة للوسيط m لا يكون للنظام ذي الوسيط حل، وأي صف يظهر بعد الحذف؟
3. لماذا يقابل النظامَ الذي له عدد لا نهائي من الحلول مستقيمٌ مشترك بين المستويات الثلاثة؟