الدائرة – الأوتار والمماسات
الرياضياتالهندسة المستوية14–15 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلدائرة (O; R) فيها وتر AB ونقطة خارجية M. اسحب منتصف الوتر H لتغيير المسافة OH، ولاحظ أن OH ⟂ AB وأن AB = 2√(R² − OH²)؛ واسحب M لترى أن المماسين MT₁ وMT₂ متساويان وأن OT ⟂ MT؛ واسحب النقطة الواقعة على الدائرة لتغيير نصف القطر. وعندما تدخل M إلى داخل الدائرة لا يوجد أي مماس.
الدرس: العلاقة بين القطر والوتر؛ المماس للدائرة؛ المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة
ماذا تعرض
تظهر عدة نظريات للدائرة معًا على الدائرة (O; R). فالعمود النازل من المركز على الوتر AB ينصّفه في H، ومن مبرهنة فيثاغورس AB = 2√(R² − OH²): فكلما اقترب الوتر من المركز طال، وعندما OH = 0 يكون قطرًا. والمماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. ومن نقطة خارجية M يُرسم مماسان بالضبط هما MT₁ وMT₂، طولاهما متساويان ويساويان √(OM² − R²)، والمستقيم MO ينصّف الزاوية T₁MT₂. ويمر بنقطة على الدائرة مماس واحد، ولا يمر بنقطة داخلها أي مماس.
طريقة الاستخدام
اضبط نصف القطر R وبعد الوتر عن المركز OH، أو اسحب H، وقارن طول AB المعروض بما تتوقعه من مبرهنة فيثاغورس. حرّك H إلى المركز لتحصل على قطر. ومع تفعيل «إظهار المماسين من النقطة M»، اسحب M نحو الدائرة ولاحظ قِصَر MT، ثم اسحبها إلى الدائرة نفسها ثم إلى داخلها. واسحب K لتغيير نصف القطر ولاحظ كيف تتغير النتيجتان.
المعاملات القابلة للتغيير
- نصف القطر R 2–8 cm
- بعد الوتر عن المركز OH 0–7.5 cm
- إظهار المماسين من النقطة M
- إظهار القطر العمودي على الوتر
أسئلة للاستكشاف
- إذا كان R = 5 cm وOH = 3 cm، فما طول الوتر AB؟
- لماذا يتساوى دائمًا طولا المماسين المرسومين من نقطة خارجية M؟
- كم مماسًا يمر بنقطة على الدائرة، وكم مماسًا يمر بنقطة داخلها؟
