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Circunferencia – cuerdas y tangentes

MatemáticasGeometría planaEdades 14–15

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Usar con mi clase

Circunferencia (O; R) con una cuerda AB y un punto exterior M. Arrastra el punto medio H de la cuerda para cambiar la distancia OH y comprobar que OH ⟂ AB y AB = 2√(R² − OH²); arrastra M para ver que las dos tangentes MT₁ y MT₂ son iguales y que OT ⟂ MT; arrastra el punto de la circunferencia para cambiar el radio. Cuando M pasa al interior de la circunferencia, no existe ninguna tangente.

Lección: Relación entre diámetro y cuerda; rectas tangentes a una circunferencia; tangentes desde un punto exterior

Qué muestra

Varios teoremas de la circunferencia aparecen juntos en la circunferencia (O; R). La perpendicular trazada desde el centro a una cuerda AB la corta en su punto medio H, así que por Pitágoras AB = 2√(R² − OH²): cuanto más cerca del centro está la cuerda, más larga es, y cuando OH = 0 es un diámetro. Una tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Desde un punto exterior M salen exactamente dos tangentes, MT₁ y MT₂, de igual longitud √(OM² − R²), y MO es la bisectriz del ángulo T₁MT₂. Por un punto de la circunferencia pasa una tangente, y por un punto interior ninguna.

Cómo usarla

Fija el Radio R y la Distancia del centro a la cuerda OH, o arrastra H, y compara la longitud de AB mostrada con la que predice el teorema de Pitágoras. Lleva H al centro para obtener un diámetro. Con Mostrar tangentes desde el punto M activado, arrastra M hacia la circunferencia y observa cómo MT se acorta; después colócalo sobre la circunferencia y en su interior. Arrastra K para cambiar el radio y ver cómo responden ambos resultados.

Parámetros que puedes cambiar

  • Radio R 2–8 cm
  • Distancia del centro a la cuerda OH 0–7,5 cm
  • Mostrar tangentes desde el punto M
  • Mostrar diámetro perpendicular a la cuerda

Preguntas para explorar

  1. Con R = 5 cm y OH = 3 cm, ¿cuánto mide la cuerda AB?
  2. ¿Por qué las dos tangentes trazadas desde un punto exterior M tienen siempre la misma longitud?
  3. ¿Cuántas tangentes pasan por un punto de la circunferencia y cuántas por un punto interior?

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