اتصال الدالة عند نقطة

ماذا تعرض

تكون الدالة f متصلة عند x₀ إذا وُجدت النهاية من اليسار والنهاية من اليمين والقيمة f(x₀) وكانت متساوية. تستخدم المحاكاة دوال معرّفة بفرعين يلتقيان عند x₀، ويحتوي فرعها الأيمن على وسيط m، مثل x² + 1 عندما x < x₀ و mx + 2 عندما x ≥ x₀. وهي تحسب الأعداد الثلاثة وتبيّن مقدار القفزة بين الفرعين. وفي الصيغة الكسرية يكون المقدار (x² − x₀²)/(x − x₀) غير معرّف عند x₀، لكنه يُختزل إلى x + x₀، فتبقى نهايته 2x₀ موجودة، ويمكن لقيمة مناسبة أن تسدّ الفجوة.

طريقة الاستخدام

اختر «نوع الدالة» و«نقطة الالتقاء x₀»، ثم اسحب «الوسيط m» ببطء ولاحظ تناقص قيمة القفزة. اطلب من الطلاب أولًا أن يكتبوا على الورق شرط تساوي النهاية من اليسار و f(x₀)، وأن يحلّوه لإيجاد m. ثم يتحققون من إجابتهم بالزر «ضبط m للاتصال»، ويتأكدون من إمكان رسم المنحنى دون رفع القلم. أخيرًا جرّب x₀ = 0 في صيغة الفرع التربيعي والفرع الخطي، حيث لا تصلح أي قيمة للوسيط m.

المعاملات القابلة للتغيير

• نقطة الالتقاء x₀ -3–3
• الوسيط m -6–6
• نوع الدالة الفرع الأيسر تربيعي – الفرع الأيمن خطي, الفرع الأيسر كسر جبري قابل للاختزال – الفرع الأيمن ثابت

أسئلة للاستكشاف

1. ما الكميات الثلاث التي يجب أن توجد وتتساوى لكي تكون f متصلة عند x₀؟
2. لتكن f(x) = x² + 1 عندما x < 1، و mx + 2 عندما x ≥ 1. ما قيمة m التي تجعل f متصلة؟
3. لماذا يكون للمقدار (x² − 4)/(x − 2) نهاية عند x = 2 مع أنه غير معرّف عندها؟