الدالة الأسية y = aˣ والدالة اللوغاريتمية y = logₐx
الرياضياتالدوال والتمثيلات البيانية16–17 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلمنحنيا الدالتين y = aˣ وy = logₐx متناظران بالانعكاس في المستقيم y = x. اسحب النقطة M على منحنى الدالة الأسية فتتحرك النقطة المناظرة لها M' على منحنى الدالة اللوغاريتمية؛ واسحب منزلق a لترى الدالة متزايدة عندما a > 1 ومتناقصة عندما 0 < a < 1. تعرض شاشة «القوانين» اللوغاريتم بوصفه أُسًّا على مقياس قوى b، وقانوني الضرب والقسمة على مسطرة حاسبة، وقانون القوة، وتغيير الأساس، والعلاقة b^(x+k) = b^k·b^x بوصفها تحويلات للمنحنى؛ وتحل شاشة «المعادلات» المعادلة A·b^(ct) = d بيانيًا وباللوغاريتمات، بما في ذلك زمن التضاعف وعمر النصف. وتبيّن شاشة «الأساس e» سبب تميّز العدد e: فعندما a = e فقط يساوي ميل aˣ قيمتها؛ وميل e^(kx) هو k·e^(kx)؛ وln x هو المساحة تحت y = 1/t وانعكاس eˣ في y = x؛ والنهاية (1 + 1/n)ⁿ → e ترتبط بالفائدة المركبة المستمرة.
الدرس: الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية
ماذا تعرض
الدالة الأسية y = aˣ واللوغاريتم y = logₐx دالتان عكسيتان، لذا فمنحناهما متناظران بالانعكاس في y = x. اللوغاريتم أُس؛ والقوانين log(xy) = log x + log y وlog(x/y) = log x − log y وlog(xᵏ) = k·log x تنتج من قوانين الأسس، وأخذ اللوغاريتم يحل المعادلة A·b^(ct) = d. والعدد e ≈ 2.718 هو الأساس الوحيد الذي يكون عنده ميل aˣ مساويًا لقيمتها، لذا ميل e^(kx) هو k·e^(kx). واللوغاريتم الطبيعي ln x هو المساحة تحت y = 1/t من 1 إلى x، والمقدار (1 + 1/n)ⁿ يؤول إلى e.
طريقة الاستخدام
في «المنحنيات» اسحب منزلق الأساس a متجاوزًا 1، واسحب النقطة M على y = aˣ. في «القوانين» اختر «القانون» و«الأساس»، ثم اسحب على الصورة. في «المعادلات» اضبط A وb وc وd أو اختر «المسألة»، وفعّل «محور صادات لوغاريتمي». في «الأساس e» اختر «العرض»، ثم غيّر a أو اضغط «a = e»، أو غيّر k، أو اضبط n وr، واسحب على المنحنى.
المعاملات القابلة للتغيير
- الأساس a (a > 0، a ≠ 1) 0.1–5
- الإحداثي السيني الابتدائي للنقطة M -3–3
- التطبيق المعروض المنحنى فقط, نمو السكان (×a في كل فترة), التحلل الإشعاعي (يبقى a من الكمية في كل فترة، a < 1)
- إظهار منحنى y = logₐx
- إظهار المستقيم y = x وزوج النقطتين المتناظرتين
- الشاشة المنحنيات, قوانين اللوغاريتمات, المعادلات, الأساس e
- قانون اللوغاريتمات اللوغاريتم أُس, قانون الضرب: log(xy), قانون القسمة: log(x/y), قانون القوة: log(xᵏ), log(kx): انسحاب, تغيير الأساس, bˣ⁺ᵏ = bᵏ·bˣ
- الأساس b (القوانين) 2, 3, 10, e
- القيمة x (القوانين) 0.1–100
- القيمة y (المسطرة الحاسبة) 0.1–10
- المعامل k -3–10
- الأساس الجديد c 2, 3, 10, e
- القيمة الابتدائية A 1–1000
- الأساس b (المعادلة) 0.5–3
- الثابت c 0.1–12
- القيمة المستهدفة d 1–5000
- المسألة اختر d, زمن التضاعف (d = 2A), عمر النصف (d = A/2)
- محور صادات لوغاريتمي
- الأساس e: العرض ميل aˣ, ميل e^(kx), ln x بوصفه مساحة, (1 + 1/n)ⁿ → e
- الأساس a (شاشة الأساس e) 1.2–4
- الثابت k في y = e^(kx) -2–2
- الإحداثي السيني لنقطة التماس -3–2
- الحد الأعلى x للمساحة تحت y = 1/t 0.1–8
- عدد مرات التركيب n 1–1000000
- معدل الفائدة السنوي r 1–100 %
أسئلة للاستكشاف
- باستعمال انعكاس y = aˣ في المستقيم y = x، لماذا تكون logₐx معرّفة فقط عندما x > 0؟
- إذا كانت M(2; 4) تقع على y = 2ˣ، فأي نقطة يجب أن تقع على y = log₂x؟
- ينمو عدد سكان بمعامل 1.1 في كل فترة. بعد كم فترة يتضاعف؟
