Continuidade de uma função em um ponto

O que mostra

Uma função f é contínua em x₀ quando o limite à esquerda, o limite à direita e o valor f(x₀) existem e são iguais. A simulação usa funções definidas por partes, unidas em x₀, cujo ramo direito contém um parâmetro m, por exemplo x² + 1 para x < x₀ e mx + 2 para x ≥ x₀. Ela calcula os três números e marca o tamanho do salto entre os ramos. Na forma racional, (x² − x₀²)/(x − x₀) não está definida em x₀, mas se simplifica para x + x₀, então seu limite 2x₀ existe e um valor adequado pode fechar a lacuna.

Como usar

Escolha um Tipo de função e um Ponto de junção x₀, depois arraste devagar o Parâmetro m e observe o rótulo do salto diminuir. Peça aos alunos que escrevam primeiro, no papel, a condição de que o limite à esquerda seja igual a f(x₀) e resolvam para m. Em seguida, eles conferem a resposta com Ajustar m p/ continuidade e verificam que o gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis. Por fim, teste x₀ = 0 na forma quadrática–afim, em que nenhum m funciona.

Parâmetros que você pode mudar

• Ponto de junção x₀ -3–3
• Parâmetro m -6–6
• Tipo de função Ramo esquerdo quadrático – ramo direito afim, Ramo esquerdo racional simplificável – ramo direito constante

Perguntas para explorar

1. Quais três quantidades devem existir e ser iguais para que f seja contínua em x₀?
2. Para f(x) = x² + 1 se x < 1 e mx + 2 se x ≥ 1, qual m torna f contínua?
3. Por que (x² − 4)/(x − 2) tem limite em x = 2 mesmo não estando definida nesse ponto?