Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle

Was sie zeigt

Eine Funktion f ist an der Stelle x₀ stetig, wenn linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert f(x₀) existieren und übereinstimmen. Die Simulation verwendet abschnittsweise definierte Funktionen mit Nahtstelle x₀, deren rechter Ast einen Parameter m enthält, etwa x² + 1 für x < x₀ und mx + 2 für x ≥ x₀. Sie berechnet die drei Zahlen und zeigt die Sprunghöhe zwischen den Ästen. In der Bruchform ist (x² − x₀²)/(x − x₀) bei x₀ nicht definiert, lässt sich aber zu x + x₀ kürzen; der Grenzwert 2x₀ existiert also, und ein passender Wert schließt die Lücke.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Funktionstyp und eine Nahtstelle x₀ und ziehen Sie dann langsam am Parameter m, während die Sprunganzeige kleiner wird. Lassen Sie die Lernenden zuerst auf Papier die Bedingung aufstellen, dass der linksseitige Grenzwert gleich f(x₀) ist, und nach m auflösen. Anschließend prüfen sie ihr Ergebnis mit m für Stetigkeit und bestätigen, dass sich der Graph ohne Absetzen zeichnen lässt. Testen Sie zuletzt x₀ = 0 bei der quadratisch-linearen Form, wo kein m passt.

Einstellbare Parameter

• Nahtstelle x₀ -3–3
• Parameter m -6–6
• Funktionstyp Linker Ast quadratisch – rechter Ast linear, Linker Ast kürzbarer Bruchterm – rechter Ast konstant

Fragen zum Erkunden

1. Welche drei Größen müssen existieren und gleich sein, damit f an der Stelle x₀ stetig ist?
2. Für f(x) = x² + 1 bei x < 1 und mx + 2 bei x ≥ 1: Welches m macht f stetig?
3. Warum hat (x² − 4)/(x − 2) bei x = 2 einen Grenzwert, obwohl die Funktion dort nicht definiert ist?