Continuité d'une fonction en un point

Ce qu’elle montre

Une fonction f est continue en x₀ lorsque la limite à gauche, la limite à droite et la valeur f(x₀) existent et sont égales. La simulation utilise des fonctions définies par morceaux, raccordées en x₀, dont la branche droite contient un paramètre m, par exemple x² + 1 pour x < x₀ et mx + 2 pour x ≥ x₀. Elle calcule les trois nombres et indique la hauteur du saut entre les branches. Dans la forme rationnelle, (x² − x₀²)/(x − x₀) n'est pas définie en x₀ mais se simplifie en x + x₀ : sa limite 2x₀ existe donc, et une valeur bien choisie peut combler le trou.

Mode d’emploi

Choisissez un Type de fonction et un Point de raccord x₀, puis faites glisser lentement le Paramètre m en observant l'étiquette du saut diminuer. Demandez aux élèves d'écrire d'abord sur papier la condition « limite à gauche = f(x₀) » et d'en déduire m. Ils vérifient ensuite leur réponse avec Choisir m pour la continuité et constatent que la courbe se trace sans lever le crayon. Essayez enfin x₀ = 0 dans la forme second degré–affine, où aucune valeur de m ne convient.

Paramètres modifiables

• Point de raccord x₀ -3–3
• Paramètre m -6–6
• Type de fonction Branche gauche du second degré – branche droite affine, Branche gauche rationnelle simplifiable – branche droite constante

Questions à explorer

1. Quelles trois quantités doivent exister et être égales pour que f soit continue en x₀ ?
2. Pour f(x) = x² + 1 si x < 1 et mx + 2 si x ≥ 1, quel m rend f continue ?
3. Pourquoi (x² − 4)/(x − 2) a-t-elle une limite en x = 2 alors qu'elle n'y est pas définie ?