مطابقة نموذج دالة – البواقي ومعامل التحديد R² والتحويل إلى علاقة خطية

ماذا تعرض

لكل نموذج معاملات تختارها طريقة المربعات الصغرى بحيث يكون مجموع مربعات البواقي SSres = Σ(y − ŷ)² أصغر ما يمكن. ويقيس R² = 1 − SSres/SStot مقدار ما يفسره النموذج من تغير y، ويعطي RMSE خطأً نموذجيًا بوحدات y. النموذج ذو المعاملات الأكثر لا يكون R² له أقل أبدًا، لذا احكم عليه أيضًا بنمط البواقي وبمعنى المعاملات وبمدى تنبئه ببيانات جديدة. تُطابق النماذج الأسية ونماذج القوة هنا مباشرة مع y؛ أما الآلات الحاسبة فتطابقها عبر ln y، فتعطي قيمًا مختلفة قليلًا.

طريقة الاستخدام

اختر مجموعة البيانات والنموذج. مع «المربعات الصغرى» تظهر أفضل المعاملات فورًا؛ اضغط «سحب المعاملات» وحرّك المنزلقات لتحاول بنفسك التفوق على أصغر SSres. راقب «مخطط البواقي» بحثًا عن نمط، وحدّد «بيانات جديدة» لاختبار التنبؤات، وانقر صفًا في الجدول لتبديل النموذج. وفي «التحويل إلى خط» غيّر «المحاور» واستخدم «اطرح c من y».

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة مطابقة النماذج, التحويل إلى خط
• مجموعة البيانات تبريد مشروب ساخن, تركيز دواء في الدم, سكان العالم 1950–2000, نمو الخميرة, كرة مقذوفة إلى أعلى, ارتفاع المد, طول النهار على مدار السنة, pH محاليل HCl, الأدوار المدارية للكواكب, تكلفة طباعة الملصقات, بياناتك الخاصة
• النموذج خطية y = ax + b, تربيعية y = a(x − h)² + k, أسية y = a·bˣ, أسية بخط تقارب y = a·bˣ + c, دالة قوة y = a·xᵇ, لوغاريتمية y = a + b·ln x, لوجستية y = L/(1 + C·e⁻ᵏˣ), جيبية y = a·sin(b(x − c)) + d
• المعاملات المربعات الصغرى, سحب المعاملات
• إظهار مخطط البواقي
• إظهار بيانات جديدة للاختبار
• المحاور (شاشة التحويل إلى خط) y مقابل x, ln y مقابل x (نصف لوغاريتمي), ln y مقابل ln x (لوغاريتمي مزدوج)
• اطرح ثابتًا c من y (شاشة التحويل إلى خط) 0–50

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا يطابق خط مستقيم بيانات التبريد بقيمة R² مرتفعة مع أن بواقيه تُظهر نمطًا واضحًا؟
2. لعدة نماذج لسكان العالم R² أعلى من 0.99؛ فأيها يتنبأ بالفترة 2005–2020 أفضل، ولماذا لا يكفي R² المرتفع؟
3. أي تمثيل يجعل بيانات الكواكب خطًا مستقيمًا، وماذا يخبرك ميله عن قانون كبلر الثالث؟