الدوال الأم – المجال والمدى والتماثل وخطوط التقارب والدوال متعددة التعريف

ماذا تعرض

تُبنى معظم التمثيلات البيانية التي تظهر لاحقًا في الجبر والتفاضل والتكامل من مجموعة صغيرة من الدوال الأم. تسرد هذه المحاكاة الخصائص الدقيقة لكل منها – المجال والمدى والمقاطع والتماثل وخطوط التقارب وفترات التزايد والتناقص وسلوك الدالة عند الأطراف – وتحددها على التمثيل البياني. وتتبع دوال القوة xⁿ حيث n = p/q قواعد بسيطة: إذا كان q زوجيًا استُبعدت قيم x السالبة، وإذا كان n سالبًا استُبعد 0، وزوجية p أو فرديتها تحدد هل الدالة زوجية أم فردية. أما في الدوال متعددة التعريف فيُحسب المدى والمقاطع والاطراد عدديًا على النافذة الظاهرة. انظر أيضًا محاكاة تحويلات التمثيل البياني، والدوال المركبة والعكسية.

طريقة الاستخدام

اختر شاشة. في «معرض» اختر «الدالة»، واسحب P على المنحنى، وفعّل «إظهار النقطة عند −x (اختبار التماثل)»؛ وفي xⁿ اضبط p وq. في «مقارنة» اضغط «القوى» أو «الجذور» أو «المقلوبات» أو «eˣ وln x» أو «مقارنة على [0, 1]»، وحدد الدوال واسحب الخط المتقطع. في «متعددة التعريف» اختر «مثال» أو اكتب f₁ وf₂ وf₃، ثم اضبط b₁ وb₂ والقطعة التي تنتمي إليها كل نقطة وصل. في «اختبار» اختر الدالة المطابقة واضغط «تمثيل جديد».

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة في البداية معرض (جدول الخصائص الأساسية), مقارنة عدة دوال, الدوال متعددة التعريف, تعرّف على التمثيل البياني
• الدالة في البداية (معرض) y = x (الدالة المحايدة), y = x² (الدالة التربيعية), y = x³ (الدالة التكعيبية), y = √x (الجذر التربيعي), y = ∛x (الجذر التكعيبي), y = |x| (القيمة المطلقة), y = 1/x (دالة المقلوب), y = 1/x² (مقلوب المربع), y = xⁿ حيث n = p/q (دالة القوة), y = eˣ (الدالة الأسية), y = ln x (اللوغاريتم الطبيعي), y = ⌊x⌋ (الجزء الصحيح، دالة درجية)
• البسط p للأس n = p/q (دالة القوة) -6–6
• المقام q للأس n = p/q (دالة القوة) 1–6
• إظهار النقطة عند −x لاختبار التماثل
• العائلة في البداية (مقارنة) القوى: x وx² وx³, الجذور: x و√x و∛x, المقلوبات: 1/x و1/x², eˣ وln x والمستقيم y = x, مقارنة x وx² وx³ على [0, 1]
• مثال الدالة متعددة التعريف في البداية |x| من قطعتين, دالة درجية, قفزة, ثقب, وصل أملس

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا تكون y = x^(2/3) معرّفة عند قيم x السالبة بينما y = x^(3/2) ليست كذلك؟
2. على أي فترة يكون x³ < x² < x، ولماذا ينعكس الترتيب عندما x > 1؟
3. عند قفزة في دالة درجية، أي قطعة تعطي القيمة عند نقطة الوصل، وكيف تعرف ذلك من التمثيل البياني؟