Continuidad de una función en un punto

Qué muestra

Una función f es continua en x₀ cuando el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor f(x₀) existen y son iguales. La simulación usa funciones definidas a trozos unidas en x₀ cuya rama derecha contiene un parámetro m, por ejemplo x² + 1 para x < x₀ y mx + 2 para x ≥ x₀. Calcula los tres números y marca el tamaño del salto entre las ramas. En la forma racional, (x² − x₀²)/(x − x₀) no está definida en x₀ pero se simplifica a x + x₀, así que su límite 2x₀ existe y un valor adecuado puede cerrar el hueco.

Cómo usarla

Elige un Tipo de función y un Punto de unión x₀, luego arrastra despacio el Parámetro m y observa cómo disminuye la etiqueta del salto. Pide a los estudiantes que escriban primero en papel la condición de que el límite por la izquierda sea igual a f(x₀) y despejen m. Después comprueban su respuesta con Ajustar m (continua) y verifican que la gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz. Por último, prueba x₀ = 0 en la forma cuadrática–lineal, donde ningún m sirve.

Parámetros que puedes cambiar

• Punto de unión x₀ -3–3
• Parámetro m -6–6
• Tipo de función Rama izquierda cuadrática – rama derecha lineal, Rama izquierda racional simplificable – rama derecha constante

Preguntas para explorar

1. ¿Qué tres cantidades deben existir y ser iguales para que f sea continua en x₀?
2. Si f(x) = x² + 1 para x < 1 y mx + 2 para x ≥ 1, ¿qué m hace continua a f?
3. ¿Por qué (x² − 4)/(x − 2) tiene límite en x = 2 aunque no esté definida allí?