العلاقات والدوال – الضرب الديكارتي والمخطط السهمي والدالة المتباينة والشاملة

ماذا تعرض

الضرب الديكارتي A × B هو مجموعة كل الأزواج المرتبة (a, b) حيث a من A وb من B، فعدد عناصره n(A)·n(B)، وكل مجموعة جزئية منه علاقة من A إلى B. تكون العلاقة دالة من A إلى B إذا كان لكل عنصر من A صورة واحدة فقط. وتكون الدالة متباينة إذا كان للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة إذا كان مداها هو المجال المقابل B كله، وتقابلية إذا كانت الاثنتين معًا. وتكون العلاقة على مجموعة واحدة علاقة تكافؤ إذا كانت انعكاسية وتماثلية ومتعدية، وعندئذ تقسم المجموعة إلى أصناف منفصلة.

طريقة الاستخدام

في «الدوال A → B» اختر «المجموعة A» و«المجموعة B» و«القاعدة»، أو المس نقاط المخطط واسحب أسهمًا من A إلى B؛ وتعرض القراءة والجدول المجال والمدى واختبار الدالة. ويعطي «دالة عشوائية» و«علاقة عشوائية» أمثلة جديدة. في «العلاقات على مجموعة» المس خلايا المصفوفة أو صِل العقد. اضغط «ابدأ المهمة» وابنِ المطلوب ثم اضغط «تحقّق من المهمة». ويسأل «اختبار» هل العلاقة دالة وما نوعها.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة الدوال A → B, العلاقات على مجموعة, اختبار
• المجموعة A {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {−2, −1, 0, 1, 2}, {a, b, c}
• المجموعة B {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {p, q, r, s}
• القاعدة من A إلى B بلا قاعدة (المس الأزواج), y = x + 1, y = 2x, y = x², y = |x|, x < y, x يقسم y, x + y = 5
• مجموعة العلاقات على مجموعة {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• القاعدة على المجموعة بلا قاعدة (المس الأزواج), x = y, x ≤ y, x < y, x يقسم y, x ≡ y (mod 2), x ≡ y (mod 3), |x − y| ≤ 1

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا لا تكون العلاقة التي فيها لعنصر من A صورتان دالةً؟
2. هل يمكن أن تكون دالة من مجموعة فيها 3 عناصر إلى مجموعة فيها 4 عناصر شاملة؟ لماذا؟
3. ما الأزواج التي يجب إضافتها إلى علاقة على {1, 2, 3, 4} لتصبح علاقة تكافؤ لها صنفان؟