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Relationen und Funktionen – kartesisches Produkt, Pfeildiagramme, injektiv und surjektiv

MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16

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Mit meiner Klasse nutzen

Wählen Sie zwei kleine Mengen A und B und sehen Sie A × B als Gitter geordneter Paare; tippen Sie Paare an (oder ziehen Sie Pfeile), um eine Relation zu bilden, die zugleich als Graph, Pfeildiagramm, Paarmenge und Tabelle erscheint, mit Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge. Die Simulation prüft, ob die Relation eine Funktion ist und ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist; auf einer Menge prüft sie Reflexivität, Symmetrie und Transitivität mit einer 0–1-Matrix und zeigt die Klassen einer Äquivalenzrelation.

Lektion: Relationen und Funktionen: kartesisches Produkt, Definitions-, Ziel- und Wertemenge, injektive, surjektive und bijektive Funktionen, Äquivalenzrelationen

Was sie zeigt

Das kartesische Produkt A × B ist die Menge aller geordneten Paare (a; b) mit a aus A und b aus B; es hat n(A)·n(B) Elemente, und jede Teilmenge davon ist eine Relation von A nach B. Eine Relation ist eine Funktion von A nach B, wenn jedes Element von A genau ein Bild hat. Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Elemente verschiedene Bilder haben, surjektiv, wenn die Wertemenge die ganze Zielmenge B ist, und bijektiv, wenn beides gilt. Eine Relation auf einer Menge ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist; sie zerlegt die Menge dann in disjunkte Klassen.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Funktionen A → B die Menge A, die Menge B und eine Regel, oder tippen Sie Punkte des Graphen an und ziehen Sie Pfeile von A nach B; Anzeige und Tabelle zeigen Definitionsmenge, Wertemenge und den Funktionstest. Zufällige Funktion und Zufällige Relation erzeugen neue Beispiele. Unter Relationen auf einer Menge tippen Sie Matrixfelder an oder verbinden die Knoten. Drücken Sie Aufgabe starten, bauen Sie das Verlangte und drücken Sie Aufgabe prüfen. Das Quiz fragt, ob eine Relation eine Funktion ist und welcher Art.

Einstellbare Parameter

  • Ansicht Funktionen A → B, Relationen auf einer Menge, Quiz
  • Menge A {1; 2; 3}, {1; 2; 3; 4}, {−2; −1; 0; 1; 2}, {a; b; c}
  • Menge B {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3}, {0; 1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 4; 5; 6}, {p; q; r; s}
  • Regel von A nach B Keine (Paare antippen), y = x + 1, y = 2x, y = x², y = |x|, x < y, x teilt y, x + y = 5
  • Menge für Relationen auf einer Menge {1; 2; 3}, {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5; 6}
  • Regel auf der Menge Keine (Paare antippen), x = y, x ≤ y, x < y, x teilt y, x ≡ y (mod 2), x ≡ y (mod 3), |x − y| ≤ 1

Fragen zum Erkunden

  1. Warum ist eine Relation, in der ein Element von A zwei Bilder hat, keine Funktion?
  2. Kann eine Funktion von einer Menge mit 3 Elementen in eine Menge mit 4 Elementen surjektiv sein? Warum?
  3. Welche Paare muss man zu einer Relation auf {1; 2; 3; 4} hinzufügen, um eine Äquivalenzrelation mit zwei Klassen zu erhalten?

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