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Relations et applications – produit cartésien, diagrammes sagittaux, injections et surjections

MathématiquesFonctions et courbes15–16 ans

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Utiliser avec ma classe

Choisissez deux petits ensembles A et B et voyez A × B comme un quadrillage de couples ; touchez des couples (ou tracez des flèches) pour construire une relation affichée à la fois en graphique, en diagramme sagittal, en ensemble de couples et en tableau, avec ensemble de définition, ensemble d'arrivée et image. Le simulateur vérifie si la relation est une application et si l'application est injective, surjective ou bijective ; sur un seul ensemble, il vérifie la réflexivité, la symétrie et la transitivité avec une matrice 0–1 et montre les classes d'une relation d'équivalence.

Leçon : Relations et applications : produit cartésien, ensemble de départ, ensemble d'arrivée et image, injections, surjections et bijections, relations d'équivalence

Ce qu’elle montre

Le produit cartésien A × B est l'ensemble de tous les couples (a ; b) avec a dans A et b dans B ; il a donc n(A)·n(B) éléments, et chacune de ses parties est une relation de A vers B. Une relation est une application de A dans B quand chaque élément de A a exactement une image. Une application est injective quand deux éléments différents ont des images différentes, surjective quand son image est tout l'ensemble d'arrivée B, et bijective quand elle est les deux. Une relation sur un ensemble est une relation d'équivalence quand elle est réflexive, symétrique et transitive ; elle partage alors l'ensemble en classes disjointes.

Mode d’emploi

Dans Applications A → B, choisissez Ensemble A, Ensemble B et une Règle, ou touchez des points du graphique et tirez des flèches de A vers B ; l'affichage et le tableau donnent l'ensemble de définition, l'image et le test d'application. Application au hasard et Relation au hasard créent d'autres exemples. Dans Relations sur un ensemble, touchez les cases de la matrice ou reliez les nœuds. Appuyez sur Commencer la tâche, construisez ce qui est demandé puis appuyez sur Vérifier la tâche. Le Quiz demande si une relation est une application, et de quel type.

Paramètres modifiables

  • Écran Applications A → B, Relations sur un ensemble, Quiz
  • Ensemble A {1 ; 2 ; 3}, {1 ; 2 ; 3 ; 4}, {−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2}, {a ; b ; c}
  • Ensemble B {1 ; 2 ; 3 ; 4}, {1 ; 2 ; 3}, {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}, {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, {p ; q ; r ; s}
  • Règle de A vers B Aucune (touchez les couples), y = x + 1, y = 2x, y = x², y = |x|, x < y, x divise y, x + y = 5
  • Ensemble des relations sur un ensemble {1 ; 2 ; 3}, {1 ; 2 ; 3 ; 4}, {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
  • Règle sur l'ensemble Aucune (touchez les couples), x = y, x ≤ y, x < y, x divise y, x ≡ y (mod 2), x ≡ y (mod 3), |x − y| ≤ 1

Questions à explorer

  1. Pourquoi une relation où un élément de A a deux images n'est-elle pas une application ?
  2. Une application d'un ensemble à 3 éléments dans un ensemble à 4 éléments peut-elle être surjective ? Pourquoi ?
  3. Quels couples faut-il ajouter à une relation sur {1 ; 2 ; 3 ; 4} pour obtenir une relation d'équivalence à deux classes ?

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