Relações e funções – produto cartesiano, diagramas de flechas, injetora e sobrejetora
MatemáticaFunções e gráficosIdades 15–16
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Escolha dois conjuntos pequenos A e B e veja A × B como uma malha de pares ordenados; toque nos pares (ou trace flechas) para montar uma relação mostrada ao mesmo tempo como gráfico, diagrama de flechas, conjunto de pares ordenados e tabela, com domínio, contradomínio e conjunto imagem. O simulador verifica se a relação é uma função e se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora; num único conjunto, verifica as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva com uma matriz 0–1 e mostra as classes de uma relação de equivalência.
Aula: Relações e funções: produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, relações de equivalência
O que mostra
O produto cartesiano A × B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) com a em A e b em B; ele tem n(A)·n(B) elementos, e cada subconjunto dele é uma relação de A em B. Uma relação é uma função de A em B quando cada elemento de A tem exatamente uma imagem. Uma função é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando o conjunto imagem é todo o contradomínio B e bijetora quando é as duas coisas. Uma relação num conjunto é de equivalência quando é reflexiva, simétrica e transitiva; então ela divide o conjunto em classes disjuntas.
Como usar
Em Funções A → B, escolha Conjunto A, Conjunto B e uma Regra, ou toque nos pontos do gráfico e arraste flechas de A para B; a leitura e a tabela mostram o domínio, a imagem e o teste de função. Função aleatória e Relação aleatória geram novos exemplos. Em Relações num conjunto, toque nas células da matriz ou ligue os nós. Pressione Iniciar tarefa, monte o que se pede e pressione Verificar tarefa. Teste pergunta se uma relação é função e de que tipo.
Parâmetros que você pode mudar
- Tela Funções A → B, Relações num conjunto, Teste
- Conjunto A {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {−2, −1, 0, 1, 2}, {a, b, c}
- Conjunto B {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {p, q, r, s}
- Regra de A em B Nenhuma (toque nos pares), y = x + 1, y = 2x, y = x², y = |x|, x < y, x divide y, x + y = 5
- Conjunto para relações num conjunto {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Regra no conjunto Nenhuma (toque nos pares), x = y, x ≤ y, x < y, x divide y, x ≡ y (mod 2), x ≡ y (mod 3), |x − y| ≤ 1
Perguntas para explorar
- Por que uma relação em que um elemento de A tem duas imagens não é uma função?
- Uma função de um conjunto com 3 elementos num conjunto com 4 elementos pode ser sobrejetora? Por quê?
- Que pares é preciso acrescentar a uma relação em {1, 2, 3, 4} para obter uma relação de equivalência com duas classes?
