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Logarithmische Skalen und Linearisierung – halblogarithmische und doppeltlogarithmische Diagramme

MathematikFunktionen und GraphenAlter 16–17

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Tragen Sie echte Daten auf gewöhnlichen, halblogarithmischen (log y gegen x) und doppeltlogarithmischen Achsen (log y gegen log x) auf: y = a·bˣ wird halblogarithmisch zur Geraden, y = a·xⁿ doppeltlogarithmisch. Lesen Sie Steigung und y-Achsenabschnitt ab, um a, b und n zu bestimmen, ziehen Sie eine eigene Gerade und prüfen Sie die Residuen. Der Bildschirm Log-Skalen vergleicht Erdbebenmagnitude, Schallpegel in Dezibel und pH-Wert, bei denen gleiche Schritte gleiche Verhältnisse bedeuten.

Lektion: Logarithmen: logarithmische Skalen, Linearisierung von y = a·bˣ und y = a·xⁿ, Richter-, Dezibel- und pH-Skala

Was sie zeigt

Logarithmieren macht aus zwei häufigen Kurven Geraden. Ist y = a·bˣ, so gilt log y = log a + x·log b; log y gegen x ist also eine Gerade mit Steigung log b und y-Achsenabschnitt log a. Ist y = a·xⁿ, so gilt log y = log a + n·log x; log y gegen log x ist eine Gerade mit Steigung n. Die Daten betreffen radioaktiven Zerfall, Bakterienwachstum, Erdbebenhäufigkeit, Planetenbahnen, ein Pendel und den Stoffwechsel von Tieren. Es werden Zehnerlogarithmen verwendet, und die Gerade wird an die logarithmierten Werte angepasst. Zerfalls-, Bakterien- und Pendeldaten sind simuliert und enthalten Messrauschen.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Datensatz und drücken Sie y – x, log y – x oder log y – log x, um zu sehen, ob die Punkte auf einer Geraden liegen. Lesen Sie a, b oder n am Steigungsdreieck und im Ergebnisfeld ab. Drücken Sie Ziehen und verschieben Sie die beiden orangefarbenen Kreise für Ihre eigene Gerade; aktivieren Sie Residuen, um nach einem Muster zu suchen. Ziehen Sie unter Log-Skalen A und B entlang der Skala.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Linearisieren, Log-Skalen
  • Datensatz Radioaktiver Zerfall von Iod-131, Bakterienwachstum, Erdbeben pro Jahr nach Magnitude, Umlaufzeiten der Planeten, Periode eines Fadenpendels, Grundumsatz von Säugetieren
  • Achsen y gegen x (gewöhnliche Achsen), log y gegen x (halblogarithmisch), log y gegen log x (doppeltlogarithmisch)
  • Gerade Kleinste Quadrate, Eigene Gerade ziehen
  • Residuendiagramm anzeigen
  • Logarithmische Skala (Bildschirm Log-Skalen) Erdbebenmagnitude (Richter), Schallpegel (dB), pH-Wert

Fragen zum Erkunden

  1. Auf welchen Achsen liegen die Daten von Iod-131 auf einer Geraden, und welche Halbwertszeit ergibt die Steigung?
  2. Was verrät die Steigung des doppeltlogarithmischen Diagramms der Planeten über das dritte Keplersche Gesetz?
  3. Wie viel intensiver ist ein Schall von 90 dB als einer von 60 dB, und warum nicht 1,5-mal?

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