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Échelles logarithmiques et linéarisation – graphiques semi-log et log–log

MathématiquesFonctions et courbes16–17 ans

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Tracez des données réelles sur des axes ordinaires, semi-logarithmiques (log y en fonction de x) et log–log (log y en fonction de log x) : y = a·bˣ devient une droite en semi-log et y = a·xⁿ en log–log. Lisez le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine pour trouver a, b et n, faites glisser votre propre droite et examinez les résidus. L'écran Échelles log compare la magnitude des séismes, le niveau sonore en décibels et le pH, où des pas égaux correspondent à des rapports égaux.

Leçon : Logarithmes : échelles logarithmiques, linéarisation de y = a·bˣ et y = a·xⁿ, échelles de Richter, des décibels et du pH

Ce qu’elle montre

Passer au logarithme transforme deux courbes courantes en droites. Si y = a·bˣ, alors log y = log a + x·log b : log y en fonction de x est une droite de coefficient directeur log b et d'ordonnée à l'origine log a. Si y = a·xⁿ, alors log y = log a + n·log x : log y en fonction de log x est une droite de coefficient directeur n. Les données portent sur la décroissance radioactive, la croissance bactérienne, la fréquence des séismes, les orbites des planètes, un pendule et le métabolisme animal. Les logarithmes sont décimaux et la droite est ajustée sur les valeurs logarithmiques. Les données de décroissance, de bactéries et de pendule sont simulées avec un bruit de mesure.

Mode d’emploi

Choisissez un Jeu de données, puis cliquez sur y – x, log y – x ou log y – log x et regardez si les points s'alignent. Lisez le triangle de pente et le panneau de résultats pour obtenir a, b ou n. Cliquez sur Glisser et déplacez les deux cercles orange pour placer votre droite, puis cochez Résidus pour repérer une tendance. Dans Échelles log, faites glisser A et B le long de l'échelle.

Paramètres modifiables

  • Écran Linéariser, Échelles log
  • Jeu de données Décroissance radioactive de l'iode 131, Croissance bactérienne, Séismes par an selon la magnitude, Périodes de révolution des planètes, Période d'un pendule simple, Métabolisme des mammifères
  • Axes y en fonction de x (axes ordinaires), log y en fonction de x (semi-log), log y en fonction de log x (log–log)
  • Droite Moindres carrés, Faire glisser sa propre droite
  • Afficher le graphique des résidus
  • Échelle logarithmique (écran Échelles log) Magnitude des séismes (Richter), Niveau d'intensité sonore (dB), pH

Questions à explorer

  1. Sur quels axes les données de l'iode 131 forment-elles une droite, et quelle demi-vie le coefficient directeur donne-t-il ?
  2. Que vous apprend le coefficient directeur du graphique log–log des planètes sur la troisième loi de Kepler ?
  3. Combien de fois un son de 90 dB est-il plus intense qu'un son de 60 dB, et pourquoi pas 1,5 fois ?

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