Probabilidade condicional e teorema de Bayes: testes de doenças
MatemáticaProbabilidadeIdades 17–18
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Um problema de exame médico: são dadas a prevalência da doença, a sensibilidade P(+|doente) e a especificidade P(−|saudável). Um diagrama de árvore, uma tabela 2×2 para N pessoas e uma grade de 1.000 pontos coloridos mostram por que a probabilidade real de ter a doença dado um teste positivo, P(doente|+), costuma ser muito menor que a sensibilidade; arraste os controles para ver a fórmula da probabilidade total e o teorema de Bayes mudarem. A tela Pesquisa tem uma tabela de dupla entrada editável para duas variáveis categóricas, com frequências relativas conjuntas, marginais e condicionais por linha ou por coluna, um gráfico de barras segmentadas, um diagrama de árvore ou de Venn e a comparação de P(A|B) com P(A) para avaliar associação ou independência.
Aula: Probabilidade condicional, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes
O que mostra
Um teste médico é descrito por sua sensibilidade P(+|B) e especificidade P(−|B̄), mas o paciente precisa de P(B|+). A probabilidade total dá P(+) e o teorema de Bayes dá P(B|+) = P(B)·P(+|B)/P(+); com prevalência baixa, os falsos positivos podem superar os verdadeiros positivos. A tela Pesquisa aplica as mesmas ideias a uma tabela de dupla entrada: frequências relativas conjuntas, marginais e condicionais, um gráfico de barras segmentadas e um diagrama de árvore. Duas variáveis são independentes quando P(A|B) = P(A), ou seja, P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Os dados da pesquisa são ilustrativos.
Como usar
Em Teste médico (Bayes), defina prevalência de 1%, sensibilidade de 95% e especificidade de 90%, estime P(B|+) e compare com a árvore, a tabela e a grade de pontos. Em Pesquisa: dupla entrada, escolha os Dados, edite as contagens e alterne entre Frequências, % do total, % da linha e % da coluna. Clique em uma célula para escolher A e B, compare as barras com a barra Todos e veja se P(A|B) difere de P(A).
Parâmetros que você pode mudar
- Prevalência da doença na população P(B) 0,1–50 %
- Sensibilidade P(+|B): positivo dado que tem a doença 50–100 %
- Especificidade P(−|B̄): negativo dado que não tem a doença 50–100 %
- Número de pessoas na tabela 2×2 1000–100000
- Tela Teste médico (Bayes), Pesquisa: tabela de dupla entrada
- Dados da pesquisa Horário de chegada e tarefas de casa, Mão usada e resultado da moeda, Idade e ida à escola, Telas antes de dormir e sono
- A tabela da pesquisa mostra Frequências, Frequências relativas conjuntas, Frequências relativas por linha, Frequências relativas por coluna
- Diagrama da tela Pesquisa Diagrama de árvore, Diagrama de Venn
Perguntas para explorar
- Com prevalência de 1%, sensibilidade de 95% e especificidade de 90%, por que P(B|+) é tão baixa?
- Como P(B|+) muda quando a prevalência sobe de 1% para 20%?
- Supondo que os dois testes são independentes, quem deu positivo refaz o teste: com a primeira P(B|+) como prevalência, qual é a nova P(B|+)?
