Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: pruebas diagnósticas
MatemáticasProbabilidadEdades 17–18
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Un problema de pruebas médicas: se dan la prevalencia de la enfermedad, la sensibilidad P(+|enfermo) y la especificidad P(−|sano). Un diagrama de árbol, una tabla de 2×2 para N personas y una cuadrícula de 1000 puntos de colores muestran por qué la probabilidad real de estar enfermo con una prueba positiva, P(enfermo|+), suele ser mucho menor que la sensibilidad; mueve los deslizadores para ver cómo cambian la fórmula de la probabilidad total y el teorema de Bayes. La pantalla Encuesta tiene una tabla de doble entrada editable para dos variables categóricas, con frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionadas por fila o por columna, un diagrama de barras segmentadas, un diagrama de árbol o de Venn y una comparación de P(A|B) con P(A) para juzgar si hay asociación o independencia.
Lección: Probabilidad condicionada, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Qué muestra
Una prueba médica se describe por su sensibilidad P(+|B) y su especificidad P(−|B̄), pero el paciente necesita P(B|+). La probabilidad total da P(+) y el teorema de Bayes da P(B|+) = P(B)·P(+|B)/P(+); con una prevalencia baja, los falsos positivos pueden superar a los verdaderos positivos. La pantalla Encuesta aplica las mismas ideas a una tabla de doble entrada: frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionadas, un diagrama de barras segmentadas y un diagrama de árbol. Dos variables son independientes si P(A|B) = P(A), es decir, P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Los datos de la encuesta son ilustrativos.
Cómo usarla
En Prueba médica (Bayes), fija una prevalencia del 1 %, una sensibilidad del 95 % y una especificidad del 90 %, estima P(B|+) y compáralo con el árbol, la tabla y la cuadrícula. En Encuesta: doble entrada, elige los Datos, cambia los recuentos y alterna entre Frecuencias, % del total, % por fila y % por columna. Haz clic en una celda para elegir A y B, compara las barras con la barra Total y comprueba si P(A|B) difiere de P(A).
Parámetros que puedes cambiar
- Prevalencia de la enfermedad en la población P(B) 0,1–50 %
- Sensibilidad P(+|B): positivo si hay enfermedad 50–100 %
- Especificidad P(−|B̄): negativo si no hay enfermedad 50–100 %
- Número de personas en la tabla de 2×2 1000–100000
- Pantalla Prueba médica (Bayes), Encuesta: tabla de doble entrada
- Datos de la encuesta Hora límite y tareas del hogar, Mano usada y resultado de la moneda, Edad y forma de ir al colegio, Pantallas antes de dormir y sueño
- La tabla de la encuesta muestra Frecuencias, Frecuencias relativas conjuntas, Frecuencias relativas por fila, Frecuencias relativas por columna
- Diagrama de la pantalla Encuesta Diagrama de árbol, Diagrama de Venn
Preguntas para explorar
- Con prevalencia del 1%, sensibilidad del 95% y especificidad del 90%, ¿por qué P(B|+) es tan baja?
- ¿Cómo cambia P(B|+) cuando la prevalencia sube del 1% al 20%?
- Suponiendo que las dos pruebas son independientes, un positivo repite la prueba: con la primera P(B|+) como prevalencia, ¿cuál es la nueva P(B|+)?
