Probabilités conditionnelles et formule de Bayes : le test de dépistage
MathématiquesProbabilités17–18 ans
Utilisez-la avec votre classe : vos élèves l’ouvrent par un lien ou un QR code, sans créer de compte.
À suivre dans Probabilités
Un problème de dépistage médical : on donne la prévalence de la maladie, la sensibilité P(+|malade) et la spécificité P(−|sain). Un arbre pondéré, un tableau 2×2 pour N personnes et une grille de 1 000 points colorés montrent pourquoi la probabilité réelle d'être malade sachant que le test est positif, P(malade|+), est souvent bien plus faible que la sensibilité ; faites glisser les curseurs pour voir évoluer la formule des probabilités totales et la formule de Bayes. L'écran Enquête propose un tableau croisé d'effectifs modifiable pour deux variables qualitatives, avec fréquences conjointes, marginales et conditionnelles par ligne ou par colonne, un diagramme en barres empilées, un arbre ou un diagramme de Venn, et la comparaison de P(A|B) avec P(A) pour juger d'un lien ou de l'indépendance.
Leçon : Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales et formule de Bayes
Ce qu’elle montre
Un test médical est décrit par sa sensibilité P(+|B) et sa spécificité P(−|B̄), mais le patient a besoin de P(B|+). La formule des probabilités totales donne P(+) et la formule de Bayes donne P(B|+) = P(B)·P(+|B)/P(+) ; quand la prévalence est faible, les faux positifs peuvent dépasser les vrais positifs. L'écran Enquête applique les mêmes idées à un tableau croisé d'effectifs : fréquences conjointes, marginales et conditionnelles, diagramme en barres empilées et arbre. Deux variables sont indépendantes quand P(A|B) = P(A), c'est-à-dire P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Les données de l'enquête sont fictives.
Mode d’emploi
Dans Test médical (Bayes), réglez une prévalence de 1 %, une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 %, estimez P(B|+), puis comparez avec l'arbre, le tableau et la grille. Dans Enquête : tableau croisé, choisissez les Données, modifiez les effectifs et passez de Effectifs à % du total, % de la ligne ou % de la colonne. Cliquez sur une case pour choisir A et B, comparez les barres à la barre Total et vérifiez si P(A|B) diffère de P(A).
Paramètres modifiables
- Prévalence de la maladie dans la population P(B) 0,1–50 %
- Sensibilité P(+|B) : positif sachant malade 50–100 %
- Spécificité P(−|B̄) : négatif sachant non malade 50–100 %
- Nombre de personnes du tableau 2×2 1000–100000
- Écran Test médical (Bayes), Enquête : tableau croisé
- Données de l'enquête Heure de retour et tâches ménagères, Main utilisée et pile ou face, Âge et trajet vers l'école, Écrans avant de dormir et sommeil
- Le tableau de l'enquête affiche Effectifs, Fréquences conjointes, Fréquences par ligne, Fréquences par colonne
- Diagramme de l'écran Enquête Arbre, Diagramme de Venn
Questions à explorer
- Avec une prévalence de 1 %, une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 %, pourquoi P(B|+) est-elle si faible ?
- Comment P(B|+) évolue-t-elle quand la prévalence passe de 1 % à 20 % ?
- Tests supposés indépendants : pour une personne positive retestée, avec le premier P(B|+) comme prévalence, que vaut le nouveau P(B|+) ?
