Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes: medizinische Tests
MathematikWahrscheinlichkeitAlter 17–18
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Als Nächstes in Wahrscheinlichkeit
Ein Problem aus der medizinischen Diagnostik: Gegeben sind die Prävalenz der Erkrankung, die Sensitivität P(+|krank) und die Spezifität P(−|gesund). Ein Baumdiagramm, eine Vierfeldertafel für N Personen und ein Raster aus 1000 farbigen Punkten zeigen, warum die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test krank zu sein, P(krank|+), oft viel kleiner ist als die Sensitivität; ziehen Sie die Regler, um die Veränderungen im Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und im Satz von Bayes zu verfolgen. Der Bildschirm Umfrage bietet eine bearbeitbare Kreuztabelle für zwei kategoriale Merkmale mit gemeinsamen, Rand- und bedingten relativen Häufigkeiten nach Zeilen oder Spalten, einem gestapelten Säulendiagramm, einem Baum- oder Venn-Diagramm und dem Vergleich von P(A|B) mit P(A), um Zusammenhang oder Unabhängigkeit zu beurteilen.
Lektion: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes
Was sie zeigt
Ein medizinischer Test wird durch Sensitivität P(+|B) und Spezifität P(−|B̄) beschrieben, der Patient braucht aber P(B|+). Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert P(+), der Satz von Bayes P(B|+) = P(B)·P(+|B)/P(+); bei geringer Prävalenz können falsch Positive die richtig Positiven übertreffen. Der Bildschirm Umfrage überträgt das auf eine Kreuztabelle mit absoluten Häufigkeiten: gemeinsame, Rand- und bedingte relative Häufigkeiten, ein gestapeltes Säulendiagramm und ein Baumdiagramm. Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A), also P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Die Umfragedaten sind fiktiv.
So funktioniert es
Stellen Sie unter Medizinischer Test (Bayes) Prävalenz 1 %, Sensitivität 95 % und Spezifität 90 % ein, schätzen Sie P(B|+) und vergleichen Sie mit Baum, Tabelle und Punkteraster. Wählen Sie unter Umfrage: Kreuztabelle einen Datensatz, ändern Sie die Häufigkeiten und wechseln Sie zwischen Häufigkeiten, % vom Gesamt, % der Zeile und % der Spalte. Klicken Sie auf eine Zelle, um A und B zu wählen, vergleichen Sie die Säulen mit der Säule Alle und prüfen Sie, ob P(A|B) von P(A) abweicht.
Einstellbare Parameter
- Prävalenz der Erkrankung in der Bevölkerung P(B) 0,1–50 %
- Sensitivität P(+|B): positiv bei Erkrankung 50–100 %
- Spezifität P(−|B̄): negativ ohne Erkrankung 50–100 %
- Anzahl Personen in der Vierfeldertafel 1000–100000
- Bildschirm Medizinischer Test (Bayes), Umfrage: Kreuztabelle
- Datensatz der Umfrage Feste Heimkehrzeit und Hausarbeit, Wurfhand und Münzwurf, Alter und Schulweg, Bildschirmzeit vor dem Schlafen und Schlaf
- Die Umfragetabelle zeigt Häufigkeiten, Gemeinsame relative Häufigkeiten, Relative Häufigkeiten pro Zeile, Relative Häufigkeiten pro Spalte
- Diagramm im Bildschirm Umfrage Baumdiagramm, Venn-Diagramm
Fragen zum Erkunden
- Warum ist P(B|+) bei 1 % Prävalenz, 95 % Sensitivität und 90 % Spezifität so niedrig?
- Wie verändert sich P(B|+), wenn die Prävalenz von 1 % auf 20 % steigt?
- Angenommen, beide Tests sind unabhängig: Wie groß ist bei erneutem Test eines positiv Getesteten mit dem ersten P(B|+) als Prävalenz das neue P(B|+)?
