Ähnliche Dreiecke – Höhenmessung mit Schatten

Was sie zeigt

Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' bleiben ähnlich, während die Lernenden sie verformen, vergrößern und drehen: Entsprechende Winkel bleiben gleich groß, und jedes Paar entsprechender Seiten hat dasselbe Verhältnis k. Auch das Verhältnis der Umfänge ist k, das der Flächen dagegen k². Der Anwendungsmodus misst Höhen indirekt. Zum selben Zeitpunkt treffen die Sonnenstrahlen überall unter demselben Winkel auf den Boden, daher bilden eine Person und ein Baum mit ihren Schatten zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke (Ähnlichkeitssatz WW), und die Baumhöhe folgt aus dem Verhältnis der beiden Schattenlängen.

So funktioniert es

Ziehen Sie im Modus Ähnliche Dreiecke die Punkte A, B und C, um das Dreieck zu verformen, und B' oder C', um den Ähnlichkeitsfaktor k zu ändern; mit Winkelgrößen vergleichen Sie die Winkel. Prüfen Sie nach jeder Änderung die Verhältnisse von Seiten, Umfängen und Flächen. Klicken Sie dann auf Höhe mit Schatten messen, stellen Sie die Körpergröße der Person ein und ziehen Sie die Baumspitze oder das Schattenende; die Lernenden berechnen die Baumhöhe, bevor sie das Ergebnis ablesen.

Einstellbare Parameter

• Ähnlichkeitsfaktor k 0,5–3
• Winkel A des Dreiecks (Anwendungsmodus: Winkel der Sonnenstrahlen) 25–75 °
• Modus Ähnliche Dreiecke, Baumhöhe mit Schatten messen
• Körpergröße der Person (Anwendungsmodus) 1,2–2 m
• Winkelgrößen zeigen

Fragen zum Erkunden

1. Warum sind das Dreieck aus Person und Schatten und das Dreieck aus Baum und Schatten ähnlich?
2. In welcher Beziehung stehen die beiden Dreiecke bei k = 1?
3. Wie viel Mal größer ist die Fläche des zweiten Dreiecks, wenn der Ähnlichkeitsfaktor 3 beträgt?