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Ähnliche Figuren – zentrische Streckung, Streckfaktor k, k² und k³

MathematikEbene GeometrieAlter 13–14

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Vier Bildschirme zur Ähnlichkeit. Streckung: Ziehen Sie das Zentrum O und die Ecken, wählen Sie den Streckfaktor k (auch Brüche und negative Werte) und sehen Sie, dass Seiten mit |k| multipliziert werden, Winkel gleich bleiben und der Flächeninhalt mit k² wächst. Fläche & Volumen: Vergrößern Sie einen Quader aus Einheitswürfeln (2D- oder 3D-Ansicht) und zählen Sie Quadrate und Würfel, um k² und k³ zu sehen. Ähnliche Dreiecke: Berechnen Sie fehlende Seiten, prüfen Sie Ihre Antworten und sehen Sie die Lösung. Kartenmaßstab: Messen Sie Strecken und Flächen auf einer Karte und rechnen Sie sie in die Wirklichkeit um.

Lektion: Ähnliche Figuren; zentrische Streckung; Streckfaktor, Flächen- und Volumenverhältnis; Maßstab

Was sie zeigt

Eine zentrische Streckung mit Zentrum O und Streckfaktor k bildet jeden Punkt A auf A′ ab, mit OA′ = k·OA auf der Geraden OA; für k < 0 liegt das Bild auf der anderen Seite von O und ist um 180° gedreht. Alle Längen werden mit |k| multipliziert, Winkel bleiben gleich, das Bild ist also ähnlich zur Ausgangsfigur. Flächen werden mit k² und Volumen mit k³ multipliziert, was sich an Einheitsquadraten und -würfeln direkt abzählen lässt. Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel, daher liefert ein bekanntes Paar entsprechender Seiten k. Eine Karte ist eine Verkleinerung im Maßstab 1 : n, Flächen ändern sich also mit n².

So funktioniert es

Bewegen Sie bei Streckung den Regler k oder klicken Sie einen Wert wie 1/2 oder −1, ziehen Sie O und die Ecken und vergleichen Sie die Tabelle mit Seiten, Winkeln, Umfang und Flächeninhalt. Ändern Sie bei Fläche & Volumen k und wechseln Sie zu 3D. Geben Sie bei Ähnliche Dreiecke x und y ein, klicken Sie auf Prüfen, dann auf Lösung zeigen oder Neue Aufgabe. Wählen Sie bei Kartenmaßstab einen Maßstab und ziehen Sie P, Q und die Waldecke.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Streckung, Fläche & Volumen, Ähnliche Dreiecke, Kartenmaßstab
  • Streckfaktor k -3–3
  • Ausgangsfigur Dreieck, Viereck, L-Form
  • Strahlen vom Zentrum O zeigen
  • Streckfaktor k des Quaders 0,5–3
  • Körper Würfel 2 × 2 × 2, Quader 4 × 2 × 2
  • Art der Dreiecksaufgabe Zwei getrennte Dreiecke, DE parallel zu BC
  • Kartenmaßstab 1 : 1 000, 1 : 10 000, 1 : 25 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000

Fragen zum Erkunden

  1. Was passiert mit dem Bild, wenn k von 2 auf −2 wechselt? Welche Größen bleiben gleich?
  2. Ein Modell wird mit k = 3 vergrößert. Wie viel Mal größer sind Oberfläche und Volumen?
  3. Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25 000 bedeckt ein Park 4 cm². Wie groß ist er in Hektar?

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