Umkreis und Inkreis von Dreiecken und regelmäßigen Vielecken
MathematikEbene GeometrieAlter 14–15
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Als Nächstes in Ebene Geometrie
Ziehen Sie die drei Ecken eines Dreiecks: Der Umkreismittelpunkt O ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten, der Inkreismittelpunkt I der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden; die Radien R und r sowie Sonderfälle (rechtwinkliges Dreieck: O ist der Mittelpunkt der Hypotenuse; gleichseitiges Dreieck: O fällt mit I zusammen) werden sofort aktualisiert. Im Modus „Regelmäßiges Vieleck“ ändern Sie die Eckenzahl n und ziehen eine Ecke, um den Radius zu ändern; so wird sichtbar, wie R, r und die Seitenlänge a zusammenhängen. Neu: Seitenhalbierende und Schwerpunkt G (Verhältnis 2 : 1), Höhen und Höhenschnittpunkt H, Euler-Gerade, Mittelparallele und ihre Umkehrung, gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Basiswinkeln und ein Viereck-Modus für den Satz von Varignon.
Lektion: Umkreis und Inkreis eines Dreiecks; regelmäßige Vielecke
Was sie zeigt
Jedes Dreieck hat einen Umkreis mit Mittelpunkt O, in dem sich die Mittelsenkrechten schneiden (R = abc/(4S)), und einen Inkreis mit Mittelpunkt I, in dem sich die Winkelhalbierenden schneiden (r = S/p). Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt G, der jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 teilt; die Höhen im Höhenschnittpunkt H; und O, G und H liegen auf der Euler-Geraden mit GH = 2·OG. Eine Mittelparallele ist parallel zur dritten Seite und halb so lang. Ein gleichschenkliges Dreieck hat gleiche Basiswinkel. Die Seitenmitten jedes Vierecks bilden ein Parallelogramm (Varignon).
So funktioniert es
Ziehen Sie die Ecken A, B, C. Schalten Sie Mittelsenkr. und Winkelhalb. ein, um zu sehen, welche Linien sich in O und welche in I schneiden; wählen Sie dann Seitenhalbierende, Höhen, Euler-Gerade, Mittelparallele oder Gleichschenklig (CA = CB) und lesen Sie die Verhältnisse unter der Zeichnung ab. Schalten Sie Kreise aus für eine klarere Figur. Unter Aufgaben finden Sie drei Aufgaben. Regelm. Vieleck vergleicht R, r und a; Viereck zeigt das Varignon-Parallelogramm.
Einstellbare Parameter
- Figur Dreieck (drei Ecken ziehen), Regelmäßiges n-Eck, Viereck (Seitenmitten, Satz von Varignon)
- Eckenzahl n des regelmäßigen Vielecks 3–12
- Mittelsenkrechten zeigen
- Winkelhalbierende zeigen
- Umkreis und Inkreis anzeigen
- Seitenhalbierende und Schwerpunkt G anzeigen
- Höhen und Höhenschnittpunkt H anzeigen
- Euler-Gerade (O, G, H) anzeigen
- Mittelparallele C′B′ anzeigen
- Gleichschenkliges Dreieck (CA = CB)
Fragen zum Erkunden
- Wann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks, und wo liegt er beim rechtwinkligen Dreieck?
- Wievielmal so groß wie r ist R bei einem gleichseitigen Dreieck mit Seite a?
- Wie ändert sich das Verhältnis r/R, wenn die Eckenzahl n wächst, und welcher Figur nähert sich das Vieleck?
