Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – grafisch lösen
MathematikAlgebraAlter 14–15
Im Unterricht einsetzen: Ihre Schülerinnen und Schüler öffnen sie über einen Link oder QR-Code, ganz ohne Konto.
Als Nächstes in Algebra
Zwei Geraden a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ werden im Koordinatensystem gezeichnet; ihr Schnittpunkt ist die Lösung des Gleichungssystems. Die Schülerinnen und Schüler ziehen die Punkte auf den Geraden, um die Koeffizienten zu ändern, und sehen sofort die drei Fälle: sich schneidende Geraden (genau eine Lösung), parallele Geraden (keine Lösung) und identische Geraden (unendlich viele Lösungen) – samt Lösungsweg mit dem Additionsverfahren.
Lektion: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, Lösen mit dem Additionsverfahren
Was sie zeigt
Jede lineare Gleichung ax + by = c mit zwei Unbekannten hat eine Gerade als Graphen, und eine Lösung des Systems ist ein Punkt, der auf beiden Geraden zugleich liegt. Zwei Geraden in der Ebene können sich einmal schneiden, parallel sein oder zusammenfallen; ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen hat daher genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Das Additionsverfahren liefert algebraisch dasselbe: Das Kombinieren von Vielfachen der Gleichungen führt auf einen einzigen Wert für x, auf 0 = k mit k ≠ 0 oder auf 0 = 0. Fast parallele Geraden schneiden sich weit vom Ursprung entfernt, was große Lösungswerte ergibt.
So funktioniert es
Beginnen Sie mit den Beispielschaltflächen Schneidend, Parallel und Identisch und vergleichen Sie jedes Bild mit der angegebenen Anzahl von Lösungen. Ziehen Sie dann die runden Punkte auf den Geraden oder ändern Sie a₁, b₁, c₁ und a₂, b₂, c₂, um ein eigenes System zu bilden. Mit Schritte ein/aus verfolgen Sie das Additionsverfahren und prüfen, ob der Schnittpunkt M beide Gleichungen erfüllt. Machen Sie zuletzt die Geraden fast parallel und beobachten Sie, wie M wegwandert.
Einstellbare Parameter
- a₁ (Gleichung 1) -10–10
- b₁ (Gleichung 1) -10–10
- c₁ (Gleichung 1) -10–10
- a₂ (Gleichung 2) -10–10
- b₂ (Gleichung 2) -10–10
- c₂ (Gleichung 2) -10–10
Fragen zum Erkunden
- Ändert sich die Gerade, wenn man eine Gleichung mit einer Zahl ungleich null multipliziert, und wann beschreiben zwei Gleichungen dieselbe Gerade?
- Welches Ergebnis im Additionsverfahren zeigt, dass das System keine Lösung hat?
- Wie können Sie prüfen, ob eine am Graphen abgelesene Lösung exakt ist?
