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Linear, quadratisch oder exponentiell? – Tabellen, Differenzen, Quotienten und Funktionen vergleichen

MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16

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Sehen Sie eine Funktion als Tabelle, Graph und Funktionsterm nebeneinander. Konstante erste Differenzen Δy bedeuten linear, konstante zweite Differenzen Δ²y quadratisch und ein konstanter Quotient aufeinanderfolgender Werte exponentiell. Unter Rätseltabellen ordnen Lernende zufällige Tabellen zu (auch mit ungleichen x-Schritten und Tabellen, die zu keinem Modell passen); Vergleichen stellt zwei Funktionen in verschiedenen Darstellungen dar – Tabelle, Term oder Text – und bestimmt Achsenabschnitte, Änderungsraten, den Break-even-Punkt und die Stelle, an der eine Exponentialfunktion eine lineare oder quadratische Funktion überholt.

Lektion: Darstellungsformen von Funktionen; erste und zweite Differenzen; Änderungsrate; lineare, quadratische und exponentielle Modelle vergleichen

Was sie zeigt

Eine Funktion kann als Tabelle, Graph oder Term gegeben sein. Wachsen die x-Werte in gleichen Schritten, hat eine lineare Funktion konstante erste Differenzen Δy, eine quadratische konstante zweite Differenzen Δ²y und eine Exponentialfunktion einen konstanten Quotienten aufeinanderfolgender y-Werte. Rätseltabellen übt diesen Test, auch mit ungleichen x-Schritten, bei denen Differenzen in die Irre führen. Vergleichen stellt zwei Funktionen in verschiedenen Darstellungen gegenüber und bestimmt Achsenabschnitte, Änderungsraten und Schnittpunkte. Die Modelle sind vereinfacht: minutengenaue Abrechnung, Zinsen einmal pro Jahr. Siehe auch Lineare Funktionen, Graphen quadratischer Funktionen und Exponentialfunktion y = aˣ.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Bildschirm. Unter Erkunden wählen Sie eine Familie und stellen Schritt Δx, Zeilen und die Koeffizienten-Schieberegler ein; die konstante Spalte wird grün. Unter Rätseltabellen untersuchen Sie die Tabelle, aktivieren bei Bedarf Spalten Δx, Δy, Δ²y und Quotient zeigen, wählen Linear, Quadratisch, Exponentiell oder Keine davon und klicken auf Term zeigen oder Neue Tabelle. Unter Zwei Funktionen vergleichen wählen Sie eine Situation, bewegen die Regler und ziehen über den Graphen, um beide Werte abzulesen.

Einstellbare Parameter

  • Startbildschirm Erkunden (Tabelle, Graph, Term), Rätseltabellen (zuordnen), Zwei Funktionen vergleichen
  • Start-Funktionsfamilie (Erkunden) Linear y = mx + b, Quadratisch y = ax² + bx + c, Exponentiell y = a · bˣ
  • x-Schritt in der Tabelle (Erkunden) 0,5–2
  • Anzahl der Tabellenzeilen (Erkunden) 4–8
  • Startsituation (Vergleichen) Zwei Handytarife, Sparen: fester Betrag oder fester Prozentsatz, k · x² gegen c · bˣ
  • Differenz- und Quotientenspalten von Anfang an zeigen (Rätseltabellen)

Fragen zum Erkunden

  1. Warum muss eine Tabelle mit konstantem Δy nicht linear sein, wenn die x-Schritte ungleich sind?
  2. Wie ändert sich Δ²y bei y = ax² + bx + c, wenn man den x-Schritt verdoppelt?
  3. Nach wie vielen Jahren überholt ein Wachstum von 10 % pro Jahr eine feste jährliche Einzahlung?

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