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¿Lineal, cuadrática o exponencial? – Tablas, diferencias, razones y comparación de funciones

MatemáticasFunciones y gráficasEdades 15–16

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Observa una función como tabla, gráfica y fórmula a la vez. Primeras diferencias Δy constantes indican una función lineal, segundas diferencias Δ²y constantes una cuadrática y una razón constante entre valores sucesivos una exponencial. En Tablas misteriosas los estudiantes clasifican tablas al azar (también con pasos de x desiguales y tablas que no encajan en ningún modelo); Comparar presenta dos funciones en representaciones distintas – tabla, fórmula o palabras – y halla interceptos, tasas de cambio, el punto de equilibrio y dónde una exponencial supera a una lineal o cuadrática.

Lección: Representaciones de funciones; primeras y segundas diferencias; tasa de cambio; comparación de modelos lineales, cuadráticos y exponenciales

Qué muestra

Una función puede darse como tabla, gráfica o fórmula. Si los valores de x aumentan en pasos iguales, una función lineal tiene primeras diferencias Δy constantes, una cuadrática tiene segundas diferencias Δ²y constantes y una exponencial tiene una razón constante entre valores de y sucesivos. Tablas misteriosas entrena esta prueba, incluso con pasos de x desiguales, donde las diferencias engañan. Comparar presenta dos funciones en representaciones distintas y halla interceptos, tasas de cambio e intersecciones. Los modelos se simplifican: las llamadas se cobran por minuto exacto y el interés se suma una vez al año. Consulta también Funciones lineales, Gráficas de funciones cuadráticas y Función exponencial y = aˣ.

Cómo usarla

Elige una pantalla. En Explorar, elige una Familia y ajusta Paso Δx, Filas y los deslizadores de coeficientes; la columna constante se pone verde. En Tablas misteriosas, estudia la tabla, marca Mostrar columnas Δx, Δy, Δ²y y razón si necesitas ayuda, elige Lineal, Cuadrática, Exponencial o Ninguna, y pulsa Ver fórmula o Nueva tabla. En Comparar dos funciones, elige una Situación, mueve los deslizadores y arrastra sobre la gráfica para leer ambos valores.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla inicial Explorar (tabla, gráfica, fórmula), Tablas misteriosas (clasificar), Comparar dos funciones
  • Familia inicial (Explorar) Lineal y = mx + c, Cuadrática y = ax² + bx + c, Exponencial y = a · bˣ
  • Paso de x en la tabla (Explorar) 0,5–2
  • Número de filas de la tabla (Explorar) 4–8
  • Situación inicial (Comparar) Dos planes de telefonía, Ahorro: cantidad fija o % fijo, k · x² frente a c · bˣ
  • Mostrar desde el inicio las columnas de diferencias y razones (Tablas misteriosas)

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué una tabla con Δy constante puede no ser lineal si los pasos de x no son iguales?
  2. Para y = ax² + bx + c, ¿cómo cambia Δ²y si se duplica el paso de x?
  3. ¿Cuántos años necesita un crecimiento del 10 % anual para superar a sumar una cantidad fija cada año?

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