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Cercles circonscrit et inscrit d'un triangle et d'un polygone régulier

MathématiquesGéométrie plane14–15 ans

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Faites glisser les trois sommets d'un triangle : le centre O du cercle circonscrit est le point de concours des trois médiatrices, le centre I du cercle inscrit est le point de concours des trois bissectrices ; les rayons R et r et les cas particuliers (triangle rectangle : O est le milieu de l'hypoténuse ; triangle équilatéral : O et I sont confondus) se mettent à jour instantanément. Mode polygone régulier : changez le nombre de côtés n et faites glisser un sommet pour changer le rayon, afin de voir les relations entre R, r et la longueur du côté a. Nouveau : médianes et centre de gravité G (rapport 2 : 1), hauteurs et orthocentre H, droite d'Euler, théorème des milieux et sa réciproque, triangle isocèle aux angles à la base égaux et mode quadrilatère pour le théorème de Varignon.

Leçon : Cercle circonscrit et cercle inscrit d'un triangle ; polygones réguliers

Ce qu’elle montre

Tout triangle possède un cercle circonscrit, de centre O où se coupent les médiatrices (R = abc/(4S)), et un cercle inscrit, de centre I où se coupent les bissectrices (r = S/p). Les médianes se coupent au centre de gravité G, qui partage chaque médiane dans le rapport 2 : 1 ; les hauteurs, à l'orthocentre H ; et O, G et H sont alignés sur la droite d'Euler, avec GH = 2·OG. Le segment des milieux est parallèle au troisième côté et deux fois plus court. Un triangle isocèle a deux angles à la base égaux. Les milieux des côtés de tout quadrilatère forment un parallélogramme (Varignon).

Mode d’emploi

Faites glisser les sommets A, B, C. Activez Médiatrices et Bissectrices pour voir quelles droites se coupent en O et lesquelles en I, puis cochez Médianes, Hauteurs, Droite d'Euler, Droite des milieux ou Isocèle (CA = CB) et lisez les rapports sous la figure. Décochez Cercles pour alléger la figure. Ouvrez Tâches pour trois défis. Polygone régulier compare R, r et le côté a ; Quadrilatère montre le parallélogramme de Varignon.

Paramètres modifiables

  • Figure Triangle (faites glisser les trois sommets), Polygone régulier à n côtés, Quadrilatère (milieux, théorème de Varignon)
  • Nombre de côtés n du polygone régulier 3–12
  • Afficher les médiatrices
  • Afficher les bissectrices
  • Afficher les cercles circonscrit et inscrit
  • Afficher les médianes et le centre de gravité G
  • Afficher les hauteurs et l'orthocentre H
  • Afficher la droite d'Euler (O, G, H)
  • Afficher le segment des milieux C′B′
  • Triangle isocèle (CA = CB)

Questions à explorer

  1. Quand le centre du cercle circonscrit est-il extérieur au triangle, et où se trouve-t-il pour un triangle rectangle ?
  2. Pour un triangle équilatéral de côté a, combien de fois R est-il plus grand que r ?
  3. Quand le nombre de côtés n augmente, comment évolue le rapport r/R, et de quelle figure le polygone se rapproche-t-il ?

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