Multiplier des polynômes avec un modèle d'aire

Ce qu’elle montre

Le modèle d'aire transforme le produit de polynômes en géométrie. Un rectangle de côtés a + b et c + d se découpe en quatre cases d'aires ac, ad, bc et bd, donc (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme d'un facteur multiplie chaque terme de l'autre, c'est la double distributivité. Avec des côtés x + b et x + d, les cases sont x², bx, dx et bd, et les deux cases du milieu se regroupent en un seul terme semblable (b + d)x. La figure met aussi en évidence l'erreur fréquente ac + bd, qui oublie deux cases.

Mode d’emploi

Faites glisser les poignées rondes des bords, ou utilisez les curseurs Segment a à Segment d, pour redimensionner les quatre cases. Commencez avec Nombres pour que les élèves vérifient que les quatre aires font bien l'aire totale, puis passez à Lettres pour voir l'identité générale. La notation (x + b)(x + d) montre les deux cases du milieu qui se regroupent en un seul terme. Demandez de prévoir chaque produit avant de changer une longueur.

Paramètres modifiables

• Segment a 1–8 unité
• Segment b 1–8 unité
• Segment c 1–8 unité
• Segment d 1–8 unité
• Notation Nombres, (x + b)(x + d), Lettres a, b, c, d

Questions à explorer

1. Combien de produits partiels obtient-on en multipliant un polynôme à deux termes par un polynôme à trois termes, et à quoi ressemblerait le modèle d'aire ?
2. Dans (x + b)(x + d), pourquoi peut-on regrouper les cases bx et dx, mais pas x² et bd ?
3. Pourquoi (a + b)(c + d) n'est-il pas égal à ac + bd, et quelles cases cette réponse oublie-t-elle ?