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Tests du khi-deux – adéquation, indépendance et homogénéité

MathématiquesStatistiques17–18 ans

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Lancez un dé équilibré ou truqué, ouvrez des sachets de bonbons colorés ou saisissez vos propres effectifs pour les confronter à des proportions données ; ou modifiez un tableau croisé pour tester l'indépendance ou l'homogénéité. Les effectifs théoriques, chaque contribution (O − E)²/E, χ², le nombre de degrés de liberté et la courbe du khi-deux avec la p-valeur coloriée et la valeur critique marquée mènent à une décision, avec un avertissement si un effectif théorique est inférieur à 5.

Leçon : Tests du khi-deux : adéquation, indépendance et homogénéité

Ce qu’elle montre

Un test du khi-deux compare les effectifs observés O aux effectifs E attendus si l'hypothèse nulle était vraie. Chaque catégorie ou case ajoute (O − E)²/E à la statistique χ². Si H₀ est vraie et que tous les effectifs théoriques valent au moins 5, χ² suit approximativement une loi du khi-deux à k − 1 degrés de liberté pour l'adéquation, ou (r − 1)(c − 1) pour un tableau croisé. La p-valeur est l'aire à droite de χ² ; la simulation la calcule avec la fonction gamma incomplète régularisée. Les dés et bonbons simulés montrent à quelle fréquence une H₀ vraie est quand même rejetée.

Mode d’emploi

Sur l'écran Adéquation, choisissez les Données puis Lancer une fois, Lancer 60 fois ou ouvrez des sachets, ou saisissez des effectifs dans le tableau ; passez Dé utilisé à Truqué et observez χ² augmenter. Sur l'écran Tableau croisé, choisissez un Exemple, modifiez un effectif, ajoutez ou retirez des lignes et des colonnes, et choisissez Indépendance ou Homogénéité. Changez le Seuil de signification α et comparez la p-valeur à la valeur critique.

Paramètres modifiables

  • Écran Adéquation, Tableau croisé
  • Données du test d'adéquation Lancer un dé, Couleurs de bonbons, Vos propres proportions
  • Dé ou sachet simulé Conforme à H₀ (dé équilibré, mélange annoncé), Différent de H₀ (dé truqué, autre mélange)
  • Lancers ou bonbons par série 10–500
  • Nombre de catégories k (proportions personnelles) 2–8
  • Test sur le tableau croisé Indépendance, Homogénéité
  • Exemple de tableau croisé Âge × trajet vers l'école, Engrais × germination, Tableau 2 × 2 vide
  • Seuil de signification α 0,10, 0,05, 0,01
  • Graine aléatoire (même graine, mêmes données) 1–999

Questions à explorer

  1. Combien de lancers d'un dé truqué faut-il pour que le test rejette le plus souvent H₀ ?
  2. Pourquoi un tableau de 3 lignes et 4 colonnes a-t-il 6 degrés de liberté ?
  3. Quelle case contribue le plus à χ², et que dit-elle de la liaison ?

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